复旦大学 2021年强基第11题
📝 题目
求极坐标 $\rho=\theta$ 的曲线轨迹。
💡 答案解析
解析：曲线轨迹为阿基米德螺线， 附注：阿基米德螺线的极坐标方程为 $\rho=a \theta+b(a \neq 0)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极坐标方程形式
极坐标方程 ρ = θ 中，ρ 随 θ 线性增加，符合阿基米德螺线的一般形式 ρ = aθ + b，其中 a=1, b=0。
公式：ρ = aθ + b (a ≠ 0)
提示：注意阿基米德螺线是等距螺线，每增加2π，半径增加2πa。
步骤 2/4
目标：描述曲线特征
曲线从极点出发，随着θ增大，ρ均匀增大，形成螺旋状。当θ=0时，ρ=0；θ=2π时，ρ=2π。
公式：ρ = θ
提示：螺旋线每圈间距为2π。
步骤 3/4
目标：绘制曲线草图
在极坐标系中，取θ=0, π/2, π, 3π/2, 2π等点，对应ρ=0, π/2, π, 3π/2, 2π，连接成平滑螺旋线。
公式：ρ = θ
提示：注意极径ρ不能为负，θ通常取非负值。
步骤 4/4
目标：总结曲线名称
该曲线称为阿基米德螺线，是等速螺线的一种，广泛应用于机械凸轮设计。
公式：ρ = aθ + b
提示：阿基米德螺线以古希腊数学家阿基米德命名。
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