复旦大学 2021年强基第12题

解析：记 $b_{n}=4^{a_{n}}$ ，则有 $b_{n+2}+4 b_{n+1}-12 b_{n}=0$ ， 所以 $b_{n+2}-2 b_{n+1}+6\left(b_{n+1}-2 b_{n}\right)=0$ ，得 $b_{n+1}-2 b_{n}=\left(b_{2}-2 b_{1}\right)(-6)^{n-1}$ ， 则 $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{b_{n}}{2^{n}}=\frac{b_{2}-2 b_{1}}{4} \cdot(-3)^{n-1}$ ，得 $\displaystyle \frac{b_{n}}{2^{n}}=\frac{2 b_{1}-b_{2}}{16} \cdot(-3)^{n}+\frac{b_{2}+6 b_{1}}{16}$ ， 由 $b_{n}\gt 0$ ，可知 $2 b_{1}-b_{2}=0$ ，得 $b_{n}=b_{1} \cdot 2^{n-1}$ ， 所以 $\displaystyle a_{n}=\log _{4} \frac{b_{1}}{2}+\frac{n}{2}$ ，则有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{n}=\frac{1}{2}$ 。