复旦大学 2021年强基第13题
📝 题目
求 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{3}{x^{3}}\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 展开式中得常数项。
💡 答案解析
解析：$\displaystyle \left(\sqrt{x}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 通项 $\displaystyle C_{6}^{r}(\sqrt{x})^{6-r}\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}=(-1)^{r} C_{6}^{r} x^{3-\frac{3 r}{2}}$ ， 取 $r=0$ ，得常数为 -3 ；取 $r=1$ ，得常数为 -12 ，所以常数项为 $-3-12=-15$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二项式展开的通项公式
对于(√x - 1/x)^6，通项为C(6,r)(√x)^(6-r)(-1/x)^r = (-1)^r C(6,r) x^(3 - 3r/2)。
公式：T_{r+1}=C_n^r a^{n-r}b^r
提示：注意指数运算：√x = x^(1/2)，1/x = x^(-1)。
步骤 2/5
目标：分析乘积中常数项的可能来源
原式=(2x^(-3/2) - 3x^(-3)) * (√x - 1/x)^6。常数项需两因子指数和为0。
公式：指数和为零
提示：分别考虑2x^(-3/2)和-3x^(-3)与展开式中各项相乘。
步骤 3/5
目标：处理第一项2x^(-3/2)与展开式相乘
2x^(-3/2)乘以展开式中x^(3-3r/2)得2x^(3/2 - 3r/2)。令指数为0：3/2 - 3r/2=0，得r=1。
公式：指数方程：3/2 - 3r/2 = 0
提示：r=1时，系数为2 * (-1)^1 * C(6,1) = -12。
步骤 4/5
目标：处理第二项-3x^(-3)与展开式相乘
-3x^(-3)乘以展开式中x^(3-3r/2)得-3x^(-3r/2)。令指数为0：-3r/2=0，得r=0。
公式：指数方程：-3r/2 = 0
提示：r=0时，系数为-3 * (-1)^0 * C(6,0) = -3。
步骤 5/5
目标：合并常数项
两部分常数项分别为-12和-3，相加得-15。
公式：常数项 = -12 + (-3) = -15
提示：注意符号。
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