复旦大学 2021年强基第14题
📝 题目
底面边长 $a$ 的正三棱雉，侧棱与底面所成角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ，求过一条底边且底面夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ 的截面面积。
💡 答案解析
解析：如图，取 $B C$ 中点为 $D$ ，连接 $A D$ ， 作 $P H \perp A D$ 于 $H$ 点，易知 $P H \perp$ 平面 $A B C$ ，则 $\displaystyle \angle P A D=\frac{\pi}{3}$ ， 在线段 $P A$ 上取一点 $E$ ，连接 $E D$ ，使得 $\displaystyle \angle E D A=\frac{\pi}{6}$ ，易知 $E D \perp B C$ ， 连接 $E C, E B$ ，则 $\triangle E B C$ 即为所求截面， 又 $\displaystyle A D=\frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，所以 $\displaystyle E D=\frac{3}{4} a$ ，则 $\displaystyle S_{\triangle E B C}=\frac{3}{8} a^{2}$ ，即截面面积为 $\displaystyle \frac{3}{8} a^{2}$ 。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定正三棱锥的几何特征
取BC中点D，连接AD，作PH⊥AD于H，则PH⊥底面ABC，∠PAD=π/3。
提示：注意正三棱锥顶点在底面投影为底面中心。
步骤 2/5
目标：确定截面位置
在PA上取点E，连接ED，使∠EDA=π/6。由于BC⊥AD，且ED与AD夹角为π/6，可证ED⊥BC，因此△EBC为所求截面。
提示：截面过底边BC，且与底面夹角为π/6，即截面与底面所成二面角为π/6。
步骤 3/5
目标：计算AD长度
底面正三角形边长为a，AD为中线，AD=√3/2 a。
公式：AD = √3/2 a
提示：正三角形中线长公式。
步骤 4/5
目标：计算ED长度
在直角三角形ADE中，∠EDA=π/6，AD=√3/2 a，所以ED=AD/cos(π/6)= (√3/2 a)/(√3/2)= a？注意：cos(π/6)=√3/2，ED=AD/cos(π/6)= (√3/2 a)/(√3/2)= a。但答案给出ED=3/4 a，需重新审视：实际上∠PAD=π/3，AD=√3/2 a，在△ADE中，∠DAE=π/3，∠ADE=π/6，则∠AED=π/2，由正弦定理：ED/sin(π/3)=AD/sin(π/2)，所以ED=AD*sin(π/3)= (√3/2 a)*(√3/2)=3/4 a。
公式：ED = AD * sin(π/3) = 3/4 a
提示：注意三角形内角和及正弦定理应用。
步骤 5/5
目标：计算截面面积
截面△EBC中，BC=a，ED为高，所以面积S=1/2 * BC * ED = 1/2 * a * (3/4 a) = 3/8 a²。
公式：S = 1/2 * a * (3/4 a) = 3/8 a²
提示：截面为等腰三角形，底边BC，高ED。
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