复旦大学 2021年强基第15题
📝 题目
$\displaystyle f(x)=\frac{x-a}{\ln x}$ 的极值点为 $m, n(m\lt n)$ ，则 。 A．$a \geq 1$ B．$m n\gt 1$ C．$m+n\gt 2$ D．以上都不对
💡 答案解析
解析：由 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x \ln x-x+a}{x \ln ^{2} x}$ ，记 $g(x)=x \ln x-x+a, x\gt 0$ 且 $x \neq 1$ ， 有 $g(x)=\ln x$ ，则 $g(x)\gt g(1)=a-1$ ，为使得 $g(x)$ 有两个不同零点， 只需 $\left\{\begin{array}{l}a-1\lt 0 \\ a\gt 0\end{array}\right.$ ，使得 $0\lt a\lt 1$ ， 又易知 $0\lt m\lt 1\lt n\lt \mathrm{e}$ ，易证 $\displaystyle \operatorname{In} m\gt \frac{m^{2}-1}{2 m}, \operatorname{In} n\lt \frac{n^{2}-1}{2 n}$ ， 所以 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-a=m \ln m-m\gt \frac{m^{2}-1}{2}-m \\ -a=n \ln n-n\lt \frac{n^{2}-1}{2}-n\end{array}\right.$ ，即有 $\displaystyle \frac{n^{2}}{2}-n\gt \frac{m^{2}}{2}-m$ ， 作差得 $\displaystyle (n-m)\left(\frac{n+m}{2}-1\right)\gt 0$ ，又 $n-m\gt 0$ ，所以 $m+n\gt 2$ ，
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求导并构造函数
对f(x)求导得f'(x)=(x ln x - x + a)/(x ln^2 x)，记g(x)=x ln x - x + a，x>0且x≠1。
公式：f'(x)=\frac{x \ln x - x + a}{x \ln^2 x}
提示：注意定义域x>0且x≠1，ln x在分母中。
步骤 2/7
目标：分析g(x)的单调性
求导得g'(x)=ln x，当01时g'(x)>0，g(x)递增。g(1)=a-1为最小值。
公式：g'(x)=\ln x
提示：g(x)在x=1处取最小值。
步骤 3/7
目标：确定极值点存在条件
f(x)有两个极值点等价于g(x)有两个零点，需最小值g(1)=a-1<0且端点极限为正，即a<1且a>0，故0
公式：g(1)=a-1<0, a>0
提示：还需考虑x→0+和x→+∞时g(x)的符号。
步骤 4/7
目标：确定极值点范围
设极值点为m0，g(1)<0，g(0+)→a>0。
提示：利用零点存在定理和g(x)单调性。
步骤 5/7
目标：利用不等式放缩
由极值点满足g(m)=0和g(n)=0，得a=m ln m - m = n ln n - n。利用不等式ln m > (m^2-1)/(2m)和ln n < (n^2-1)/(2n)进行放缩。
公式：\ln m > \frac{m^2-1}{2m}, \ln n < \frac{n^2-1}{2n}
提示：这些不等式可通过构造函数证明。
步骤 6/7
目标：推导不等式关系
代入得 -a = m ln m - m > (m^2-1)/2 - m，-a = n ln n - n < (n^2-1)/2 - n，整理得 (n^2)/2 - n > (m^2)/2 - m。
公式：\frac{n^2}{2} - n > \frac{m^2}{2} - m
提示：注意不等号方向。
步骤 7/7
目标：判断选项
由02，故C正确。
提示：通过构造函数或代数变形证明m+n>2。
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