复旦大学 2021年强基第16题
📝 题目
在三棱雉 $P-A B C$ 中，已知 $P A \perp P B, P B \perp P C, P A \perp P C, B C=a, B A=c, A C=b$ ，若以 $\triangle A B C$ 为底面，则三棱雉的高为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：依题意有 $P A^{2}+P B^{2}=c^{2}, P B^{2}+P C^{2}=a^{2}, P C^{2}+P A^{2}=b^{2}$ ， 所以 $\displaystyle P A=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}, P B=\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}, P C=\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2}}$ ， 记三棱锥的高为 $h$ ，则有 $\displaystyle V_{P-A B C}=\frac{1}{3} h S_{\triangle A B C}=\frac{1}{6} P A \cdot P B \cdot P C$ ， 又有 $\displaystyle S_{\triangle A B C}=\frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}$ ， 所以高 $\displaystyle h=\sqrt{\frac{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)}{2(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：根据已知垂直关系，利用勾股定理建立PA、PB、PC与三角形ABC边长的关系
由PA⊥PB，得PA²+PB²=AB²=c²；同理PB²+PC²=BC²=a²；PC²+PA²=AC²=b²。
公式：PA²+PB²=c², PB²+PC²=a², PC²+PA²=b²
提示：注意三组垂直关系对应三个直角三角形。
步骤 2/5
目标：解方程组，用a、b、c表示PA、PB、PC
三式相加得2(PA²+PB²+PC²)=a²+b²+c²，再分别减去各方程得：PA²=(b²+c²-a²)/2，PB²=(a²+c²-b²)/2，PC²=(a²+b²-c²)/2。
公式：PA=√[(b²+c²-a²)/2], PB=√[(a²+c²-b²)/2], PC=√[(a²+b²-c²)/2]
提示：注意开方后取正值。
步骤 3/5
目标：利用体积公式建立等式，将高h与PA、PB、PC及底面面积联系起来
三棱锥体积V=(1/3)h·S△ABC，同时由于PA、PB、PC两两垂直，也可表示为V=(1/6)PA·PB·PC。
公式：V=(1/3)hS△ABC=(1/6)PA·PB·PC
提示：两两垂直时，三棱锥体积等于三条棱乘积的六分之一。
步骤 4/5
目标：用海伦公式表示底面三角形ABC的面积
设p=(a+b+c)/2，则S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，也可写为(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]。
公式：S△ABC=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]
提示：海伦公式适用于已知三边求面积。
步骤 5/5
目标：代入体积等式，解出高h的表达式
由(1/3)hS△ABC=(1/6)PA·PB·PC得h=(PA·PB·PC)/(2S△ABC)。代入PA、PB、PC和S△ABC的表达式，化简得h=√[(a²+b²-c²)(b²+c²-a²)(c²+a²-b²)] / √[2(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]。
公式：h=√[(a²+b²-c²)(b²+c²-a²)(c²+a²-b²)] / √[2(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]
提示：化简时注意分子分母的根号合并。
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