复旦大学 2021年强基第17题
📝 题目
下列数与 $\displaystyle \frac{355}{113}$ 最接近的是（ ）。 A．$\displaystyle \frac{34}{11}$ B．$\displaystyle \frac{35}{11}$ C．$\displaystyle \frac{22}{7}$ D．$\displaystyle \frac{23}{7}$
💡 答案解析
解析：由 $\displaystyle \frac{355}{113}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}}, \frac{35}{11}=3+\frac{1}{5+\frac{1}{2}}, \frac{34}{11}=3+\frac{1}{11}$ ， $\displaystyle \frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}, \frac{23}{7}=3+\frac{1}{3+\frac{1}{2}}$ ，对比可知 $\displaystyle \frac{22}{7}$ 与 $\displaystyle \frac{355}{113}$ 最接近。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将355/113化为连分数形式
计算355/113=3+16/113=3+1/(113/16)=3+1/(7+1/16)，得到连分数[3;7,16]
公式：355/113 = 3 + 1/(7 + 1/16)
提示：连分数可以直观比较分数大小
步骤 2/5
目标：将各选项化为连分数形式
A:34/11=3+1/11=[3;11]; B:35/11=3+1/(5+1/2)=[3;5,2]; C:22/7=3+1/7=[3;7]; D:23/7=3+1/(3+1/2)=[3;3,2]
公式：34/11=3+1/11; 35/11=3+1/(5+1/2); 22/7=3+1/7; 23/7=3+1/(3+1/2)
提示：连分数中整数部分相同，比较后续部分
步骤 3/5
目标：比较连分数与355/113的接近程度
355/113的连分数为[3;7,16]，22/7为[3;7]，两者第一项相同，第二项7相同，22/7截断于7，而355/113继续到16，因此22/7是最佳逼近
公式：比较连分数[3;7,16]与[3;7]
提示：连分数截断越早，近似值越接近原数
步骤 4/5
目标：确认其他选项的差异
A:[3;11]第二项11远大于7；B:[3;5,2]第二项5小于7；D:[3;3,2]第二项3小于7，均不如22/7接近
公式：比较第二项：7 vs 11,5,3
提示：第二项越接近7，近似越好
步骤 5/5
目标：得出结论
22/7与355/113最接近，故选C
提示：连分数是判断有理数逼近的有效工具
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