复旦大学 2021年强基第18题
📝 题目
复系数方程 $x^{4}-3 \mathrm{i} x^{3}+a x^{2}+4 \mathrm{i} x+b=0$ 有一个根为 $1+\mathrm{i}$ ，求 $a+b$ 的值。
💡 答案解析
法一；由 $x=1+\mathrm{i}$ ，有 $\mathrm{i}=x-1$ ， 则 $x^{4}-3(x-1) x^{3}+a x^{2}+4 x(x-1)+b=0$ ， 即 $-2 x^{4}+3 x^{3}+(a+4) x^{2}-4 x+b=0$ ， 又有 $-1=(x-1)^{2}$ ，则 $x^{2}=2 x-2$ ，所以 $\left\{\begin{array}{l}x^{4}=4(x-1)^{2} \\ x^{3}=2 x^{2}-2 x\end{array}\right.$ ， 则有 $-8(x-1)^{2}+6\left(x^{2}-x\right)+(a+4) x^{2}-4 x+b=0$ ， 即 $(a+2) x^{2}+6 x+b-8=0$ ，又 $x^{2}-2 x+2=0$ ， 对比系数有 $\displaystyle a+2=\frac{6}{-2}=\frac{b-8}{2}$ ，得 $a=-5, b=2$ ，所以 $a+b=-3$ ； 法二：依题意有 $(1+\mathrm{i})^{4}-3 \mathrm{i}(1+\mathrm{i})^{3}+a(1+\mathrm{i})^{2}+4 \mathrm{i} x+b=0$ ， 则有 $-4-2 \mathrm{i}(3 \mathrm{i}-3)+2 a \mathrm{i}+4 \mathrm{i}-4+b=0$ ，即 $b-2+(2 a+10) \mathrm{i}=0$ ， 所以 $b=2, a=-5$ ，则有 $a+b=-3$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将根代入方程
将 x=1+i 代入原方程，得到关于 a 和 b 的方程。
公式：(1+i)^4 - 3i(1+i)^3 + a(1+i)^2 + 4i(1+i) + b = 0
提示：注意 i^2 = -1，逐步计算复数幂。
步骤 2/6
目标：计算各幂次的值
计算 (1+i)^2 = 2i, (1+i)^3 = -2+2i, (1+i)^4 = -4。
公式：(1+i)^2 = 2i, (1+i)^3 = -2+2i, (1+i)^4 = -4
提示：利用 (1+i)^2 = 2i 简化计算。
步骤 3/6
目标：代入并化简方程
代入得 -4 - 3i(-2+2i) + a(2i) + 4i(1+i) + b = 0，化简为 -4 + 6i + 6 + 2ai + 4i - 4 + b = 0。
公式：-4 + 6i + 6 + 2ai + 4i - 4 + b = 0
提示：注意 -3i * (-2+2i) = 6i - 6i^2 = 6i + 6。
步骤 4/6
目标：合并实部和虚部
合并得 (-4+6-4+b) + (6i+4i+2ai) = 0，即 (-2+b) + (10+2a)i = 0。
公式：(-2+b) + (10+2a)i = 0
提示：复数等于0，实部和虚部分别为0。
步骤 5/6
目标：解方程组求a和b
由实部 -2+b=0 得 b=2；由虚部 10+2a=0 得 a=-5。
公式：b=2, a=-5
提示：解线性方程组。
步骤 6/6
目标：计算a+b
a+b = -5 + 2 = -3。
公式：a+b = -3
提示：直接相加。
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