复旦大学 2021年强基第19题
📝 题目
抛两枚质地均匀的骰子，向上得点数分别为 $x, y$ ，则 $x, y, 3$ 能够构成三角形三边长的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解析：依题意有 $|x-y|\lt 3\lt x+y$ ， 先考虑 $x=y$ ，则易知有 5 种情况； 再考虑 $x\lt y$ 的情况，若 $x=1, y=3$ ；若 $x=2, y=3,4$ ； 若 $x=3, y=4,5$ ；若 $x=4, y=5,6$ ；若 $x=5, y=6$ ， 所以符合条件的共有 $5+2 \times 8=21$ 种情况，故概率为 $\displaystyle P=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定三角形三边长的条件
根据三角形边长关系，需满足两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，即|x-y|<3
公式：|x-y|<3
提示：注意x和y是1到6的整数。
步骤 2/6
目标：分类讨论x=y的情况
当x=y时，条件变为0<3<2x，即x>1.5，所以x可取2,3,4,5,6，共5种情况。
公式：3<2x
提示：x=y时，|x-y|=0恒小于3，只需满足3
步骤 3/6
目标：分类讨论x
当x3。枚举x从1到5，找出满足y-x<3且y≤6的y值。
公式：y-x<3且x+y>3
提示：x+y>3自动满足，因为x≥1,y≥2。
步骤 4/6
目标：枚举x
x=1时y=3；x=2时y=3,4；x=3时y=4,5；x=4时y=5,6；x=5时y=6。共1+2+2+2+1=8种。
提示：注意y必须大于x且不超过6。
步骤 5/6
目标：计算总情况数
x=y有5种，xy也有8种，总共有5+8+8=21种。
提示：x>y的情况与x
步骤 6/6
目标：计算概率
总基本事件数为6×6=36，所以概率P=21/36=7/12。
公式：P=21/36=7/12
提示：约分得到最简分数。
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