复旦大学 2021年强基第20题
📝 题目
已知函数 $f(x)=|x-p|+|k x-q|-|2 x-r| \quad(k\gt 0)$ 图像如下图所示：则（ $p, q, r$ ）可以是 $\_\_\_\_$。 
💡 答案解析
解析：当 $\displaystyle x \leqslant \min \left\{p, \frac{q}{k}, \frac{r}{2}\right\}$ ，有 $f(x)=(1-k) x+p+q-r$ ， 由图可知，此时 $f(x)$ 为常数，所以 $k=1$ ，且 $p+q\gt r$ ， 若 $r\lt 0$ ，则有 $p\gt 0, q\gt 0$ ，取 $\displaystyle \frac{r}{2}\lt x\lt \min \{p, q\}$ ， 则有 $f(x)=p+q+r-4 x$ ，所以 $f(x)$ 单调递减，与图像不符合； 若 $r\gt 0$ ，则只需 $\max \{p, q\}\gt r, \min \{p, q\}\lt 0$ ，即可符合题意； 所以只需 $p, q, r$ 满足 $\max \{p, q\}\gt r\gt 0\gt \min \{p, q\}$ 且 $p+q\gt r$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数在极小值区间内的表达式
当 x ≤ min{p, q/k, r/2} 时，所有绝对值内为负，f(x) = (1-k)x + p + q - r。
公式：f(x) = (1-k)x + p + q - r
提示：注意绝对值内符号的判断
步骤 2/5
目标：根据图像确定斜率条件
图像显示该区间内f(x)为常数，故斜率1-k=0，得k=1，且常数项p+q>r。
公式：1-k=0 ⇒ k=1
提示：常数函数斜率为0
步骤 3/5
目标：讨论r<0的情况
若r<0，则r/2<0。取r/2 < x < min{p,q}，此时f(x)=p+q+r-4x，单调递减，与图像不符。
公式：f(x)=p+q+r-4x
提示：注意x的取值范围
步骤 4/5
目标：讨论r>0的情况
若r>0，则需max{p,q}>r且min{p,q}<0，此时图像符合。
公式：max{p,q}>r>0>min{p,q}
提示：结合图像形状判断
步骤 5/5
目标：综合条件得出p,q,r关系
综上，需满足k=1，p+q>r，且max{p,q}>r>0>min{p,q}。
公式：p+q>r, max{p,q}>r>0>min{p,q}
提示：注意p,q异号
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