复旦大学 2020年强基第1题
📝 题目
抛物线 $y^{2}=2 p x$ ，过焦点 F 作直线交抛物线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，满足 $\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$ ，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足记为 $\mathrm{A}^{\prime}$ ，准线交 x 轴于 C 点，若 $S_{C F A A^{\prime}}=12 \sqrt{3}$ ，求 p 。
💡 答案解析
解：$\displaystyle F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，设 $\displaystyle l_{A B}: x=m y+\frac{p}{2} \quad m\gt 0$ $\therefore y^{2}-2 p m y-p^{2}=0$ $\therefore y_{A}+y_{B}=2 p m$ $y_{A} y_{B}=-p^{2}$ $\because \overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B} \quad \therefore y_{A}=-3 y_{B}$ 
$\therefore y_{A}+y_{B}=-2 y_{B}=2 p m, \quad y_{A} y_{B}=-3 y_{B}^{2}=-p^{2}$ $\displaystyle \therefore m^{2}=\frac{1}{3}, y_{A}=\sqrt{3} p$ 即 $\displaystyle x_{A}=\frac{3}{2} p$ $\displaystyle \therefore 12 \sqrt{3}=\frac{c F+A A^{\prime}}{2} \cdot y_{A}=\frac{P+2 p}{2} \cdot \sqrt{3} p=\frac{3 \sqrt{3}}{2} p^{2}$ $\therefore p=2 \sqrt{2}$ 。
$\therefore y_{A}+y_{B}=-2 y_{B}=2 p m, \quad y_{A} y_{B}=-3 y_{B}^{2}=-p^{2}$ $\displaystyle \therefore m^{2}=\frac{1}{3}, y_{A}=\sqrt{3} p$ 即 $\displaystyle x_{A}=\frac{3}{2} p$ $\displaystyle \therefore 12 \sqrt{3}=\frac{c F+A A^{\prime}}{2} \cdot y_{A}=\frac{P+2 p}{2} \cdot \sqrt{3} p=\frac{3 \sqrt{3}}{2} p^{2}$ $\therefore p=2 \sqrt{2}$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设直线AB方程并联立抛物线
设直线AB: x = my + p/2，与抛物线y²=2px联立，得y² - 2pmy - p²=0。
公式：y² - 2pmy - p²=0
提示：注意焦点F(p/2,0)，设直线为x=my+p/2可简化计算。
步骤 2/5
目标：利用向量条件得纵坐标关系
由AF=3FB得y_A = -3y_B。结合韦达定理：y_A+y_B=2pm，y_A y_B=-p²，解得m²=1/3，y_A=√3 p。
公式：y_A = -3y_B, y_A+y_B=2pm, y_A y_B=-p²
提示：注意向量方向，纵坐标符号相反。
步骤 3/5
目标：求A点坐标
由y_A=√3 p代入抛物线得x_A = y_A²/(2p)=3p/2。
公式：x_A = y_A²/(2p)
提示：利用抛物线方程求横坐标。
步骤 4/5
目标：求四边形面积表达式
四边形CFAA'为直角梯形，上底|CF|=p，下底|A'A|=x_A+p/2=2p，高|A'C|=|y_A|=√3 p。面积S=(p+2p)*√3 p/2=3√3 p²/2。
公式：S = (上底+下底)×高/2
提示：注意准线x=-p/2，A'坐标为(-p/2, y_A)。
步骤 5/5
目标：由面积条件求p
已知S=12√3，故3√3 p²/2=12√3，解得p²=8，p=2√2（p>0）。
公式：3√3 p²/2 = 12√3
提示：注意p为正数。
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