复旦大学 2020年强基第2题

解：$(x+y)^{2}-y^{2}=1$ ，令 $\displaystyle y=\tan \theta, x+y=\frac{1}{\cos \theta}, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ $$ \begin{aligned} & \therefore x^{2}+y^{2}=\left(\frac{1}{\cos \theta}-\tan \theta\right)^{2}+\tan ^{2} \theta \\ &=\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{\cos ^{2} \theta}+\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}=\frac{2 \sin ^{2} \theta-2 \sin \theta+1}{\cos ^{2} \theta} \\ &=\frac{2 \sin ^{2} \theta-2 \sin \theta+1}{1-\sin ^{2} \theta} \end{aligned} $$ 令 $\sin \theta=t \in[0,1)$ $\displaystyle \frac{2 t^{2}-2 t+1}{1-t^{2}}=\frac{3-2 t}{1-t^{2}}-2$ ，再令 $S=3-2 t \in(1,3]$ 则 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{4}{6-\left(s+\frac{5}{s}\right)}-2$ $\displaystyle \because s+\frac{5}{s} \in[2 \sqrt{5}, 6) \quad \therefore 6-\left(s+\frac{5}{s}\right) \in(0,6-2 \sqrt{5}]$ $\therefore x^{2}+y^{2} \geqslant 4+2 \sqrt{5}$ 。