复旦大学 2020年强基第3题

解：令 $x=0$ 得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，即 $d-b=0$ 令 $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ 得 $\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)+f(0)=f(-1)$ ，即 $b+d=d-b$ $\therefore d=b=0$ ，即 $f(x)=a \sin 2 \pi x+c \sin 4 \pi x$ $\displaystyle \therefore f\left(x+\frac{1}{2}\right)=a \sin (2 \pi x+\pi)+c \sin (4 \pi x+2 \pi)$ $$ =-a \sin 2 \pi x+c \sin 4 \pi x $$ $f(2 x)=a \sin 4 \pi x+c \sin 8 \pi x$ $\therefore 2 c \sin 4 \pi x=a \sin 4 \pi x+c \sin 8 \pi x$ 即 $(2 c-a) \sin 4 \pi x=2 c \sin 4 \pi x \cos 4 \pi x$ $\therefore 2 c-a=2 c \cos 4 \pi x$ 即 $2 c-a=2 c=0 \quad \therefore a=c=0$ 综上 $a=b=c=d=0$ 。