复旦大学 2020年强基第4题
📝 题目
若三次方程 $x^{3}+a x^{2}+4 x+5=0$ 有一个根是纯虚数，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设纯虚数根为 $k i, k \neq 0$ ，代入方程得 $-k^{3} i-a k^{2}+4 k i+5=0$ $\displaystyle \therefore\left\{\begin{array}{l}5=a k^{2} \\ 4 k=k^{3}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{4} \\ k^{2}=4\end{array}\right.\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设纯虚数根
设纯虚数根为 ki，其中 k 为非零实数。
提示：纯虚数形式为 bi，b≠0。
步骤 2/6
目标：代入方程
将 ki 代入方程 x³ + ax² + 4x + 5 = 0，得到 (ki)³ + a(ki)² + 4(ki) + 5 = 0。
公式：(ki)^3 = -k^3 i, (ki)^2 = -k^2
提示：注意 i² = -1，i³ = -i。
步骤 3/6
目标：化简方程
化简得 -k³ i - a k² + 4k i + 5 = 0，即 (5 - a k²) + (4k - k³)i = 0。
提示：将实部和虚部分开。
步骤 4/6
目标：利用复数等于零的条件
复数等于零当且仅当实部和虚部均为零，因此得到方程组：5 - a k² = 0 且 4k - k³ = 0。
提示：实部为0，虚部为0。
步骤 5/6
目标：解虚部方程
由 4k - k³ = 0 得 k(4 - k²)=0，因 k≠0，故 k²=4，即 k=±2。
公式：k^2 = 4
提示：k≠0，舍去k=0。
步骤 6/6
目标：解实部方程求a
由 5 - a k² = 0 得 a = 5/k²，代入 k²=4 得 a = 5/4。
公式：a = 5/k^2
提示：直接代入即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。