复旦大学 2020年强基第5题
📝 题目
展开式 $\displaystyle \left(x^{2}+\frac{1}{x}+y^{3}+\frac{1}{y}\right)^{10}$ 中，常数项为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：展开式通项为 $C_{10}^{a} y^{3 a} \cdot C_{10-a}^{b} y^{-b} C_{10-a-b}^{c} x^{2 c} \cdot x^{-(10-a-b-c)}$ $\therefore 3 a=b, \quad 2 c=+(10-a-b-c)$ $\therefore b=3 a, 3 c=10-4 a \neq 0$ $\because C \in Z^{+}$，故 $a=1$ ∴ 常数项为 $C_{10}^{1} \cdot C_{9}^{3} \cdot C_{6}^{2}=10 \times 84 \times 15=12600$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出展开式的通项公式
将10次方分配给四个项，设x²、1/x、y³、1/y的指数分别为c、d、a、b，满足c+d+a+b=10，通项为C(10,a)C(10-a,b)C(10-a-b,c) y^(3a) y^(-b) x^(2c) x^(-d)。
公式：T = C(10,a) C(10-a,b) C(10-a-b,c) x^(2c-d) y^(3a-b)
提示：注意分配指数时，四个指数之和为10。
步骤 2/5
目标：确定常数项条件
常数项要求x和y的指数均为0，即2c-d=0且3a-b=0。由c+d+a+b=10，得d=2c，b=3a，代入得c+2c+a+3a=10，即3c+4a=10。
公式：3c+4a=10
提示：指数为零是常数项的关键。
步骤 3/5
目标：求解非负整数解
方程3c+4a=10，a和c为非负整数。尝试a=0，则3c=10无整数解；a=1，则3c=6，c=2；a=2，则3c=2无整数解。故唯一解a=1，c=2。
公式：a=1, c=2
提示：注意a和c必须是整数。
步骤 4/5
目标：计算组合数
由a=1，c=2，得b=3a=3，d=2c=4。组合数为C(10,1)=10，C(9,3)=84，C(6,2)=15。
公式：C(10,1)=10, C(9,3)=84, C(6,2)=15
提示：注意组合数的计算顺序。
步骤 5/5
目标：计算常数项
常数项为10×84×15=12600。
公式：10×84×15=12600
提示：乘积计算要准确。
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