复旦大学 2020年强基第6题
📝 题目
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{1 \times 4}+\frac{1}{2 \times 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+3)}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\displaystyle \frac{1}{n(n+3)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right) \frac{1}{3}$ $$ \begin{aligned} \therefore \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+3)}= & \frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\cdots\right. \\ & \left.+\frac{1}{n-3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right) \\ = & \frac{1}{3}\left(\frac{11}{6}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \\ \therefore \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+3)}= & \frac{11}{18} . \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将通项裂项
将1/(n(n+3))裂项为(1/n - 1/(n+3))/3，为后续求和做准备。
公式：1/(n(n+3)) = (1/n - 1/(n+3))/3
提示：裂项时注意系数，分母差为3，所以乘以1/3。
步骤 2/5
目标：写出前n项和并展开
将和式按裂项形式展开，写出前几项和最后几项，观察抵消规律。
公式：S_n = (1/3)[(1-1/4)+(1/2-1/5)+(1/3-1/6)+...+(1/n-1/(n+3))]
提示：展开时多写几项，便于发现抵消模式。
步骤 3/5
目标：合并剩余项
观察发现，从1/4开始到1/n的项大部分抵消，剩余1, 1/2, 1/3以及负的1/(n+1), 1/(n+2), 1/(n+3)。
公式：S_n = (1/3)[1 + 1/2 + 1/3 - 1/(n+1) - 1/(n+2) - 1/(n+3)]
提示：注意1/4到1/n的项正负抵消，只留下前三项和后三项。
步骤 4/5
目标：计算常数部分
计算1+1/2+1/3 = 11/6，代入表达式。
公式：1 + 1/2 + 1/3 = 11/6
提示：通分计算，分母为6。
步骤 5/5
目标：求极限
当n→∞时，1/(n+1), 1/(n+2), 1/(n+3)都趋于0，所以极限为(1/3)*(11/6)=11/18。
公式：lim_{n→∞} S_n = (1/3)*(11/6) = 11/18
提示：极限计算时，分母趋于无穷的项趋于0。
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