复旦大学 2020年强基第7题
📝 题目
点 $(4,5)$ 绕点 $(1,1)$ 顺时针旋转 60 度，所得的点的坐标为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设 $A(4,5) B(1,1) \quad \therefore Z_{B A}=3+4 i$ $$ \begin{aligned} \therefore Z_{B C}=\frac{3+4 i}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i} & =(3+4 i)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) \\ & =\frac{3}{2}-\frac{3}{2} \sqrt{3} i+2 i+2 \sqrt{3} \\ & =\frac{3}{2}+2 \sqrt{3}+\left(2-\frac{3}{2} \sqrt{3}\right) i \end{aligned} $$ $\therefore C$ 点坐标为 $\displaystyle \left(\frac{5}{2}+2 \sqrt{3}, 3-\frac{3}{2} \sqrt{3}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将点坐标转化为复数形式
设点A(4,5)和点B(1,1)，则向量BA对应的复数为(4-1)+(5-1)i=3+4i。
公式：Z_BA = (x_A - x_B) + (y_A - y_B)i
提示：注意复数实部为x坐标差，虚部为y坐标差。
步骤 2/4
目标：确定旋转对应的复数除法
顺时针旋转60度相当于除以复数cos60°+i sin60°=1/2+√3/2 i。
公式：Z_BC = Z_BA / (cosθ + i sinθ)
提示：顺时针旋转角度θ，复数除法因子为cosθ+i sinθ。
步骤 3/4
目标：计算复数除法
计算Z_BC = (3+4i)/(1/2+√3/2 i) = (3+4i)(1/2-√3/2 i) = 3/2 - (3√3/2)i + 2i + 2√3 = (3/2+2√3) + (2-3√3/2)i。
公式：复数除法：分子分母同乘分母共轭
提示：注意i²=-1，合并实部和虚部。
步骤 4/4
目标：由复数得到旋转后点坐标
点C的坐标为B点坐标加上Z_BC的实部和虚部：x_C=1+(3/2+2√3)=5/2+2√3，y_C=1+(2-3√3/2)=3-3√3/2。
公式：C = B + (Re(Z_BC), Im(Z_BC))
提示：注意加上旋转中心B的坐标。
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