复旦大学 2020年强基第8题
📝 题目
方程 $5 \rho \cos \theta=4 \rho+3 \rho \cos 2 \theta$ 所表示的曲线形状是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：首先 $\rho=0$ 符合． 若 $\rho \neq 0$ ，则 $5 \cos \theta=4+3 \cos 2 \theta$ 即 $5 \cos \theta=4+6 \cos ^{2} \theta-3$ $6 \cos ^{2} \theta-5 \cos \theta+1=0$ $\displaystyle \therefore \cos \theta=\frac{1}{2}$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ∴ 原方程表示得曲线形状为 4 条射线，与 $x$ 轴正方向夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 或 $\displaystyle \arccos \frac{1}{3}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：考虑ρ=0的情况
当ρ=0时，方程成立，表示极点。
提示：不要遗漏ρ=0的情况
步骤 2/7
目标：化简方程（ρ≠0）
若ρ≠0，两边除以ρ得：5cosθ = 4 + 3cos2θ。
公式：5cosθ = 4 + 3cos2θ
提示：利用cos2θ = 2cos²θ - 1
步骤 3/7
目标：代入倍角公式
将cos2θ = 2cos²θ - 1代入，得5cosθ = 4 + 3(2cos²θ - 1) = 4 + 6cos²θ - 3。
公式：cos2θ = 2cos²θ - 1
提示：注意符号
步骤 4/7
目标：整理为二次方程
移项得6cos²θ - 5cosθ + 1 = 0。
公式：6cos²θ - 5cosθ + 1 = 0
提示：标准二次形式
步骤 5/7
目标：解二次方程
因式分解得(2cosθ - 1)(3cosθ - 1) = 0，所以cosθ = 1/2 或 cosθ = 1/3。
公式：(2cosθ - 1)(3cosθ - 1) = 0
提示：十字相乘法
步骤 6/7
目标：确定θ的值
cosθ = 1/2时，θ = π/3 + 2kπ 或 θ = -π/3 + 2kπ；cosθ = 1/3时，θ = arccos(1/3) + 2kπ 或 θ = -arccos(1/3) + 2kπ。
提示：注意周期性
步骤 7/7
目标：描述曲线形状
结合ρ=0的点，曲线由极点及四条射线组成，射线方向与极轴夹角分别为π/3、-π/3、arccos(1/3)、-arccos(1/3)。
提示：极坐标中射线对应固定θ
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