复旦大学 2020年强基第9题
📝 题目
设 $\displaystyle x, y \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ ，若 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{3}+\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)-2 a=0 \\ 4 y^{3}+\sin y \cos y+a=0\end{array}\right.$ ，则 $\cos (x+2 y)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：原方程可化为 $\left\{\begin{array}{c}x^{3}+\sin x-2 a=0 \\ (2 y)^{3}+\sin 2 y+2 a=0\end{array}\right.$ 令 $f(x)=x^{3}+\sin x \therefore f(x)+f(2 y)=0$ $\displaystyle \because x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 单调递增 $\therefore x+2 y=0$ ，即 $\cos (x+2 y)=1$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简第一个方程
利用三角恒等式cos(x+3π/2)=sin x，将第一个方程化为x^3+sin x-2a=0。
公式：cos(θ+3π/2)=sin θ
提示：注意角度变换
步骤 2/6
目标：化简第二个方程
将第二个方程乘以2，并利用sin y cos y=(1/2)sin 2y，得到8y^3+sin 2y+2a=0，即(2y)^3+sin 2y+2a=0。
公式：sin y cos y = (1/2) sin 2y
提示：乘以2是为了凑出(2y)^3
步骤 3/6
目标：构造函数并建立关系
令f(t)=t^3+sin t，则第一个方程变为f(x)=2a，第二个方程变为f(2y)=-2a，因此f(x)+f(2y)=0。
公式：f(t)=t^3+sin t
提示：注意符号
步骤 4/6
目标：分析函数单调性
当t∈[-π/2, π/2]时，f'(t)=3t^2+cos t>0，因为3t^2≥0，cos t>0，所以f(t)单调递增。
公式：f'(t)=3t^2+cos t
提示：导数恒正说明严格递增
步骤 5/6
目标：由单调性推出变量关系
由f(x)+f(2y)=0得f(x)=-f(2y)=f(-2y)，由于f单调递增，所以x=-2y，即x+2y=0。
公式：f(x)=f(-2y) ⇒ x=-2y
提示：奇函数性质也可用
步骤 6/6
目标：计算余弦值
由x+2y=0得cos(x+2y)=cos0=1。
公式：cos 0 = 1
提示：直接代入
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