复旦大学 2020年强基第10题
📝 题目
实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $x^{2}+y^{2}=1$ ，若 $|x+2 y-a|+|a+6-x-2 y|$ 的值与 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 无关，则 a 的范围是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：令 $x+2 y=t$ ，当 $\displaystyle \frac{|t|}{\sqrt{5}}=1$ 时 $t= \pm \sqrt{5}$ $\therefore x+2 y \in[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$ $\therefore|t-a|+|t-(a+6)|$ 为常数时， $a \leq t \leqslant a+6$ 恒成立 $\therefore \sqrt{5}-6 \leqslant a \leqslant-\sqrt{5}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量t简化表达式
令t=x+2y，则原式化为|t-a|+|t-(a+6)|。
公式：t = x + 2y
提示：利用线性组合简化变量
步骤 2/5
目标：求t的取值范围
由x²+y²=1，根据柯西不等式，(x+2y)²≤(1²+2²)(x²+y²)=5，所以|t|≤√5，即t∈[-√5, √5]。
公式：(x+2y)² ≤ (1²+2²)(x²+y²)
提示：柯西不等式求最值
步骤 3/5
目标：分析绝对值表达式为常数的条件
|t-a|+|t-(a+6)|表示数轴上点t到点a和点a+6的距离之和。当t在a和a+6之间时，和为常数6。
公式：|t-a|+|t-(a+6)| = 6 当 a ≤ t ≤ a+6
提示：绝对值几何意义
步骤 4/5
目标：确定a的范围使表达式与x,y无关
要使原式与x,y无关，需对任意t∈[-√5, √5]，都有a≤t≤a+6恒成立。即区间[-√5, √5]是[a, a+6]的子集。
公式：a ≤ -√5 且 √5 ≤ a+6
提示：子集关系
步骤 5/5
目标：解不等式组得a的范围
由a ≤ -√5 和 a+6 ≥ √5 得 a ≤ -√5 且 a ≥ √5-6，所以 √5-6 ≤ a ≤ -√5。
公式：√5-6 ≤ a ≤ -√5
提示：注意√5≈2.236，√5-6≈-3.764
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