复旦大学 2020年强基第11题
📝 题目
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\displaystyle \cos B A C=\frac{1}{3}$ ，若 O 为内心，且满足 $\overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，则 $x+y$ 最大值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\because O$ 为内心 $$ \begin{aligned} & \therefore \frac{c}{b}=\frac{B D}{C D} \text { 即 } C D=\frac{a b}{b+c} \\ & \frac{O D}{A O}=\frac{C D}{b} \\ & \text { 即 } \frac{A D}{A O}=\frac{b+C D}{b}=\frac{a+b+c}{b+c} \\ & \therefore x+y=\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{a}{b+c}+1} \\ & \because b^{2}+c^{2}-a^{2}=\frac{2}{3} b c \\ & \therefore(b+c)^{2}-a^{2}=\frac{8}{3} b c \leqslant \frac{8}{3} \cdot\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2} \\ & \therefore \frac{1}{3}(b+c)^{2} \leqslant a^{2} \\ & \therefore \frac{a}{b+c} \geqslant \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned} $$ 即 $$ x+y \leq \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}+1}=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用内心性质表示x+y
由内心性质，角平分线分对边成比例，得CD=ab/(b+c)，再由相似得AD/AO=(b+CD)/b=(a+b+c)/(b+c)，故x+y=(b+c)/(a+b+c)。
公式：x+y = (b+c)/(a+b+c)
提示：内心性质：角平分线分对边成比例
步骤 2/4
目标：利用余弦定理建立a,b,c关系
由cos∠BAC=1/3，余弦定理得b²+c²-a²=2bc/3，整理得(b+c)²-a²=8bc/3。
公式：b²+c²-a² = (2/3)bc
提示：余弦定理：a²=b²+c²-2bc cosA
步骤 3/4
目标：利用不等式放缩求a/(b+c)范围
由(b+c)²-a²=8bc/3 ≤ 8/3 * ((b+c)/2)² = 2(b+c)²/3，得(b+c)²/3 ≤ a²，即a/(b+c) ≥ 1/√3。
公式：a/(b+c) ≥ 1/√3
提示：基本不等式：bc ≤ ((b+c)/2)²
步骤 4/4
目标：求x+y最大值
x+y = 1/(a/(b+c)+1) ≤ 1/(1/√3+1) = √3/(1+√3) = (3-√3)/2。
公式：x+y ≤ √3/(1+√3) = (3-√3)/2
提示：函数单调性：分母越大值越小
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