复旦大学 2020年强基第12题
📝 题目
已知直线 $m: y=x \cos \alpha$ 和 $n: 3 x+y=c$ 有（ ）。 A．$m$ 和 $n$ 可能重合 B．$m$ 和 $n$ 不可能垂直 C．存在直线 m 上一点 P ，以 P 为中心旋转后与 m 重合 D．以上都不对
💡 答案解析
D 解：$k_{m}=\cos \alpha, k_{n}=-3$ ，故 A 不正确 若 $\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $k_{m} \cdot k_{n}=-1$ B 错误若 $c \neq 0$ ，则 C 错误 故选 D。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求直线m和n的斜率
直线m: y = x cosα，斜率k_m = cosα；直线n: 3x + y = c，化为y = -3x + c，斜率k_n = -3。
公式：y = kx + b
提示：注意直线方程的一般式与斜截式的转换。
步骤 2/5
目标：判断选项A：m和n是否可能重合
若两直线重合，则斜率相等且截距相同。斜率相等要求cosα = -3，但cosα ∈ [-1,1]，不可能等于-3，故不可能重合。
公式：两直线重合条件：k1=k2且b1=b2
提示：cosα的值域限制是关键。
步骤 3/5
目标：判断选项B：m和n是否可能垂直
两直线垂直的充要条件是斜率乘积为-1。计算k_m·k_n = cosα·(-3) = -3cosα。令-3cosα = -1，得cosα = 1/3，存在α使cosα=1/3，故可能垂直。
公式：k1·k2 = -1
提示：注意cosα可以取1/3，因此垂直是可能的。
步骤 4/5
目标：判断选项C：是否存在点P使旋转后与m重合
若c≠0，直线n不经过原点，而m恒过原点。以P为中心旋转，若P不在m上，则旋转后直线方向改变，不可能与m重合；若P在m上，旋转后仍过P，但n不过原点，故不存在这样的P。
公式：旋转中心在直线上时旋转后直线方向不变
提示：考虑旋转中心的位置和直线是否过原点。
步骤 5/5
目标：综合判断，选择正确选项
选项A错误，因为斜率不可能相等；选项B错误，因为存在垂直可能；选项C错误，因为当c≠0时不存在这样的点P。因此只有D正确。
提示：逐一排除错误选项。
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