复旦大学 2020年强基第13题
📝 题目
抛物线 $3 y^{2}=x$ 的焦点为 $\mathrm{F}, \mathrm{A}$ 在抛物线上， A 点处的切线与 AF 夹角为 30 度，则 A 点横坐标为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\displaystyle y^{2}=\frac{1}{3} x$ ，设 A 处切线为 $l, A\left(3 y_{0}^{2}, y_{0}\right)$ $$ \begin{gathered} 2 y \cdot y^{\prime}=\frac{1}{3} \\ y^{\prime}=\frac{1}{6 y} \\ \therefore k_{t}=\frac{1}{6 y_{0}} \end{gathered} $$ 
而 $\displaystyle k_{A F}=\frac{y_{0}}{3 y_{0}^{2}-\frac{1}{12}}=\frac{12 y_{0}}{36 y_{0}^{2}-1}$ $\displaystyle \therefore \frac{12 y_{0}}{36 y_{0}^{2}-1}=\frac{\frac{1}{6 y_{0}}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{6 \sqrt{3} y_{0}}}=\frac{\sqrt{3}+6 y_{0}}{6 \sqrt{3} y_{0}-1}$ ，解得 $\displaystyle y_{0}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ $\displaystyle \therefore x_{A}=3 y_{0}^{2}=3 \times \frac{1}{12}=\frac{1}{4}$ 。
而 $\displaystyle k_{A F}=\frac{y_{0}}{3 y_{0}^{2}-\frac{1}{12}}=\frac{12 y_{0}}{36 y_{0}^{2}-1}$ $\displaystyle \therefore \frac{12 y_{0}}{36 y_{0}^{2}-1}=\frac{\frac{1}{6 y_{0}}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{6 \sqrt{3} y_{0}}}=\frac{\sqrt{3}+6 y_{0}}{6 \sqrt{3} y_{0}-1}$ ，解得 $\displaystyle y_{0}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ $\displaystyle \therefore x_{A}=3 y_{0}^{2}=3 \times \frac{1}{12}=\frac{1}{4}$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将抛物线方程化为标准形式
将抛物线 $3y^2 = x$ 化为标准形式 $y^2 = \frac{1}{3}x$，得到 $2p = \frac{1}{3}$，即 $p = \frac{1}{6}$，焦点 $F(\frac{1}{12}, 0)$。
公式：$y^2 = 2px$ 的焦点为 $(\frac{p}{2}, 0)$
提示：注意系数转换，$3y^2 = x$ 等价于 $y^2 = \frac{1}{3}x$。
步骤 2/6
目标：设点A坐标并求切线斜率
设 $A(3y_0^2, y_0)$，对 $y^2 = \frac{1}{3}x$ 求导得 $2y y' = \frac{1}{3}$，所以 $y' = \frac{1}{6y}$，切线斜率 $k_t = \frac{1}{6y_0}$。
公式：导数 $y' = \frac{1}{6y}$
提示：利用隐函数求导或直接对x求导。
步骤 3/6
目标：计算直线AF的斜率
焦点 $F(\frac{1}{12}, 0)$，$A(3y_0^2, y_0)$，则 $k_{AF} = \frac{y_0 - 0}{3y_0^2 - \frac{1}{12}} = \frac{y_0}{3y_0^2 - \frac{1}{12}} = \frac{12y_0}{36y_0^2 - 1}$。
公式：斜率公式 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
提示：分母有理化，注意 $3y_0^2 - \frac{1}{12} = \frac{36y_0^2 - 1}{12}$。
步骤 4/6
目标：利用夹角条件建立方程
切线与AF夹角为30°，即 $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} = \left| \frac{k_t - k_{AF}}{1 + k_t k_{AF}} \right|$。代入 $k_t = \frac{1}{6y_0}$，$k_{AF} = \frac{12y_0}{36y_0^2 - 1}$，得方程。
公式：两直线夹角公式 $\tan \theta = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$
提示：注意绝对值，可能有两种情况。
步骤 5/6
目标：解方程求y0
化简方程：$\frac{\sqrt{3}}{3} = \left| \frac{\frac{1}{6y_0} - \frac{12y_0}{36y_0^2 - 1}}{1 + \frac{1}{6y_0} \cdot \frac{12y_0}{36y_0^2 - 1}} \right|$。分子通分得 $\frac{36y_0^2 - 1 - 72y_0^2}{6y_0(36y_0^2 - 1)} = \frac{-36y_0^2 - 1}{6y_0(36y_0^2 - 1)}$，分母 $1 + \frac{2}{36y_0^2 - 1} = \frac{36y_0^2 + 1}{36y_0^2 - 1}$。所以 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \left| \frac{-36y_0^2 - 1}{6y_0(36y_0^2 + 1)} \right| = \frac{1}{6|y_0|}$，解得 $|y_0| = \frac{\sqrt{3}}{2}$，即 $y_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。
公式：绝对值方程
提示：注意化简过程中 $36y_0^2 - 1$ 与 $36y_0^2 + 1$ 的约分。
步骤 6/6
目标：求点A的横坐标
由 $y_0 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $x_0 = 3y_0^2 = 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$。所以A点横坐标为 $\frac{9}{4}$。
公式：$x = 3y^2$
提示：横坐标与y0的符号无关。
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