复旦大学 2020年强基第14题
📝 题目
已知 P 为直线 $\left|\begin{array}{cc}x & y-6 \\ -1 & 4\end{array}\right|=0$ 上一点，且 P 点到 $\mathrm{A}(2,5)$ 和 $\mathrm{B}(4,3)$ 的距离相同。则 P 点坐标为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\left|\begin{array}{cc}x & y-6 \\ -1 & 4\end{array}\right|=0$ ，化简得 $y=4 x+6$ $\displaystyle l_{A B}: y=\frac{2}{-2}(x-2)+5 \quad$ 即 $y=-x+7$ $\displaystyle \therefore P\left(\frac{1}{5}, \frac{34}{5}\right)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简行列式得到直线方程
计算行列式：x*4 - (-1)*(y-6) = 4x + y - 6 = 0，化简得 y = -4x + 6。
公式：|a b; c d| = ad - bc
提示：注意行列式展开时符号不要出错。
步骤 2/4
目标：求线段AB的中垂线方程
A(2,5), B(4,3)，中点M(3,4)，斜率k_AB = (3-5)/(4-2) = -1，中垂线斜率1，方程y-4 = 1*(x-3)，即y = x+1。
公式：中垂线过中点且斜率与AB斜率乘积为-1
提示：中垂线是到A、B距离相等的点的轨迹。
步骤 3/4
目标：联立直线方程求交点
联立y = -4x+6 和 y = x+1，得-4x+6 = x+1，解得x=1，代入得y=2。
公式：解方程组
提示：交点即为满足条件的P点。
步骤 4/4
目标：得出P点坐标
P点坐标为(1,2)。
提示：检查是否在直线上且到A、B距离相等。
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