复旦大学 2020年强基第15题
📝 题目
已知 $x, y \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 且 $y \neq x$ ，联结原点 $O$ 和 $\mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}), \mathrm{B}(\mathrm{y}, \mathrm{x})$ 两点，则 $\displaystyle \angle A O B=2 \arctan \frac{1}{3}$ 的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设 D 为 AB 中点，故 $\displaystyle \angle A O D=\arctan \frac{1}{3}$ $\displaystyle \because A(x, y), D\left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ $\displaystyle \therefore \frac{|x-y|}{\sqrt{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ 化简得 $y=2 x$ 
原问题转化为：从 $1 \sim 9$ 种任取两数 $x, y$ 满足 $y=2 x$ 的概率， $$ (1,2)(2,4),(3,6),(4,8) \quad \therefore P=\frac{4}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{9} $$
原问题转化为：从 $1 \sim 9$ 种任取两数 $x, y$ 满足 $y=2 x$ 的概率， $$ (1,2)(2,4),(3,6),(4,8) \quad \therefore P=\frac{4}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{9} $$📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用几何关系转化角度条件
设D为AB中点，则OD平分∠AOB，且∠AOD = arctan(1/3)。
公式：∠AOB = 2∠AOD
提示：中点D的坐标是((x+y)/2, (x+y)/2)，位于直线y=x上。
步骤 2/5
目标：计算tan∠AOD的表达式
在△AOD中，tan∠AOD = (|x-y|/√2) / √(x²+y²) = 1/3，化简得|x-y|/√(x²+y²) = 1/√10。
公式：tan∠AOD = (|x-y|/√2) / √(x²+y²)
提示：利用A和D的坐标差计算距离。
步骤 3/5
目标：化简得到x和y的关系
两边平方得(x-y)²/(x²+y²)=1/10，整理得10(x-y)²=x²+y²，展开得9x²+9y²-20xy=0，即(3x-y)(3y-x)=0，所以y=3x或x=3y。
公式：10(x-y)² = x²+y²
提示：注意x,y为正整数且不相等。
步骤 4/5
目标：确定满足条件的数对
x,y∈{1,...,9}且y≠x，由y=3x得(1,3),(2,6),(3,9)；由x=3y得(3,1),(6,2),(9,3)，共6对。
提示：注意顺序不同算不同数对。
步骤 5/5
目标：计算概率
总基本事件数为9×8=72（有序）或C(9,2)=36（无序）。由于x,y有序，概率=6/72=1/12。
公式：P = 满足条件的数对个数 / 总有序数对个数
提示：注意题目中x,y是取自集合且y≠x，通常视为有序。
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