复旦大学 2020年强基第16题
📝 题目
$\displaystyle \arcsin \frac{\sqrt{14}+3 \sqrt{2}}{8}+\arcsin \frac{3}{4}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设 $z_{1}=3-\sqrt{7}+i(3+\sqrt{7}) \quad z_{2}=\sqrt{7}+3 i$ $\displaystyle \therefore \arg z_{1}=\arcsin \frac{\sqrt{14}+3 \sqrt{2}}{8} \quad \arg z_{2}=\arcsin \frac{3}{4}$ ∴ 原式 $=\arg z_{1} \bullet z_{2}$ $\because z_{1} \cdot z_{2}=-16+16 i \quad \therefore$ 原式 $\displaystyle =\frac{3}{4} \pi$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造复数表示两个反正弦值
设 z1 = 3-√7 + i(3+√7)，则 arg(z1) = arcsin((√14+3√2)/8)；设 z2 = √7 + 3i，则 arg(z2) = arcsin(3/4)。
公式：arg(a+bi) = arcsin(b/√(a²+b²))
提示：注意构造复数时，实部和虚部要使得模长平方后分子与反正弦中的表达式匹配。
步骤 2/5
目标：将原式转化为复数辐角之和
原式 = arg(z1) + arg(z2) = arg(z1·z2)。
公式：arg(z1)+arg(z2)=arg(z1·z2)（模长非零）
提示：辐角相加需考虑主值范围，但本题结果在(0,π)内。
步骤 3/5
目标：计算复数乘积
z1·z2 = (3-√7+i(3+√7))·(√7+3i) = -16+16i。
公式：复数乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
提示：计算时注意合并同类项，√7项会消去。
步骤 4/5
目标：求乘积的辐角主值
z1·z2 = -16+16i 对应点(-16,16)在第二象限，辐角主值为 3π/4。
公式：arg(x+yi)=arctan(y/x)（需根据象限调整）
提示：实部负、虚部正，辐角为π - arctan(1)=3π/4。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原式 = 3π/4。
提示：结果以弧度表示，无需化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。