复旦大学 2020年强基第17题
📝 题目
已知三棱雉 $P-A B C$ 的体积为 10.5 ，且 $\mathrm{AB}=6, \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=4, \mathrm{AP}=\mathrm{BP}=10$ ，则长度为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：设 D 为 AB 中点， $$ \begin{aligned} & \therefore C D=\sqrt{7} \quad P D=\sqrt{91} \\ & \therefore S_{A B C}=3 \sqrt{7} \\ & h=\frac{\frac{21}{2}}{3 \sqrt{7} \times \frac{1}{3}}=\frac{3 \sqrt{7}}{2} \end{aligned} $$ 
$$ \therefore \frac{1}{2} \times \sqrt{91} \times \sqrt{7} \cdot \sin P D C=\frac{1}{2} \times \sqrt{7} \times \frac{3 \sqrt{7}}{2} $$ $\displaystyle \therefore \sin P D C=\frac{3}{2 \sqrt{13}}$ 即 $\displaystyle \cos P D C=\frac{\sqrt{43}}{2 \sqrt{13}}$ $\displaystyle \therefore P C^{2}=91+7-2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{91} \times \frac{\sqrt{43}}{2 \sqrt{13}}=98-7 \sqrt{43}$ $\therefore P C=\sqrt{98-7 \sqrt{43}}$ 。
$$ \therefore \frac{1}{2} \times \sqrt{91} \times \sqrt{7} \cdot \sin P D C=\frac{1}{2} \times \sqrt{7} \times \frac{3 \sqrt{7}}{2} $$ $\displaystyle \therefore \sin P D C=\frac{3}{2 \sqrt{13}}$ 即 $\displaystyle \cos P D C=\frac{\sqrt{43}}{2 \sqrt{13}}$ $\displaystyle \therefore P C^{2}=91+7-2 \times \sqrt{7} \times \sqrt{91} \times \frac{\sqrt{43}}{2 \sqrt{13}}=98-7 \sqrt{43}$ $\therefore P C=\sqrt{98-7 \sqrt{43}}$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求底面三角形ABC的面积
取AB中点D，连接CD。由AB=6，AC=BC=4，得CD⊥AB，CD=√(4²-3²)=√7。所以S_ABC=1/2×AB×CD=1/2×6×√7=3√7。
公式：S = 1/2 × 底 × 高
提示：等腰三角形底边中线垂直于底边。
步骤 2/6
目标：求三棱锥的高h
三棱锥体积V=10.5=21/2，底面积S=3√7。由V=1/3×S×h，得h=3V/S=3×(21/2)/(3√7)=21/(2√7)=3√7/2。
公式：V = 1/3 × S × h
提示：注意体积公式中1/3的系数。
步骤 3/6
目标：求PD的长度
连接PD，由AP=BP=10，AB=6，D为AB中点，得PD⊥AB，PD=√(10²-3²)=√91。
公式：勾股定理
提示：等腰三角形底边中线也是高。
步骤 4/6
目标：利用体积关系求sin∠PDC
过P作PO⊥平面ABC于O，则PO=h=3√7/2。在△PDC中，CD=√7，PD=√91，PO⊥CD，所以S△PDC=1/2×PD×CD×sin∠PDC，同时S△PDC=1/2×CD×PO，因此1/2×√91×√7×sin∠PDC=1/2×√7×3√7/2，解得sin∠PDC=3/(2√13)。
公式：三角形面积公式：S=1/2 ab sinC
提示：利用等面积法建立方程。
步骤 5/6
目标：求cos∠PDC
由sin∠PDC=3/(2√13)，得cos∠PDC=√(1-sin²∠PDC)=√(1-9/(4×13))=√(1-9/52)=√(43/52)=√43/(2√13)。
公式：sin²θ+cos²θ=1
提示：注意正负号，∠PDC为锐角。
步骤 6/6
目标：求PC的长度
在△PDC中，由余弦定理：PC²=PD²+CD²-2×PD×CD×cos∠PDC=91+7-2×√91×√7×√43/(2√13)=98-√(91×7×43/13)=98-√(91×7×43/13)。计算91/13=7，所以根号内=7×7×43=49×43，开方得7√43，所以PC²=98-7√43，故PC=√(98-7√43)。
公式：余弦定理：c²=a²+b²-2ab cosC
提示：化简根号时注意因式分解。
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