复旦大学 2020年强基第19题
📝 题目
若 $f(x)=x^{2}-1$ ，则 $f(f(x))$ 的图像大致为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$f(f(x))=\left(x^{2}-1\right)^{2}-1=x^{2}\left(x^{2}-2\right)$ 故图像为 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算复合函数 f(f(x)) 的表达式
将 f(x)=x^2-1 代入 f(f(x))，即 f(f(x)) = (x^2-1)^2 - 1。
公式：f(f(x)) = (x^2-1)^2 - 1
提示：注意复合函数的代入顺序，先计算内层 f(x)，再代入外层。
步骤 2/5
目标：化简表达式
展开 (x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1，再减1得 x^4 - 2x^2。因式分解为 x^2(x^2-2)。
公式：f(f(x)) = x^4 - 2x^2 = x^2(x^2-2)
提示：因式分解有助于分析零点。
步骤 3/5
目标：分析函数性质
f(f(x)) 是偶函数（只含偶次项），零点为 x=0 和 x=±√2。当 x→±∞时，函数→+∞。
公式：偶函数性质：f(-x)=f(x)
提示：偶函数图像关于y轴对称。
步骤 4/5
目标：确定图像大致形状
函数在 x=0 处有局部极大值？实际求导得 f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)，驻点 x=0,±1。f(0)=0，f(±1)=-1，故 x=0 是局部极大？但 f(0)=0，f(±1)=-1，所以 x=0 是极大值点？实际上 f(0)=0，f(±1)=-1，所以 x=0 是极大值点，但注意 f(0)=0，而 f(±√2)=0，所以图像在 x=0 处与 x 轴相切？
公式：导数 f'(x)=4x(x^2-1)
提示：通过导数判断单调性和极值点。
步骤 5/5
目标：综合图像特征
图像关于y轴对称，过点(0,0)，(±1,-1)，(±√2,0)。当|x|>√2时，函数为正；当0<|x|<√2时，函数为负。形状类似W形，但中间有凸起？实际在x=0处是局部极大值0，两侧下降到-1，再上升到0。
公式：无
提示：结合零点、极值点和单调性绘制草图。
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