复旦大学 2020年强基第21题
📝 题目
方程 $3 x+4 y+12 z=2020$ 的非负整数的组数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\because 3 x+4 y+12 z=2020, x, y, z \geqslant 0$ $\therefore x=4 k, k \geqslant 0$ $\therefore 3 k+y+3 z=505$ ． $\therefore y=3 t-2 \quad t \geqslant 1$ ，故 $k+t+z=169$（＊） ∴ 原方程的非负整数解的组数等价于（＊） 非负整数解的组数，即 $C_{170}^{2}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入参数k，将x表示为4k
由于3x+4y+12z=2020，且x,y,z≥0，注意到3x+12z=3(x+4z)是3的倍数，因此4y≡2020 mod 3，即y≡1 mod 3。但更直接地，令x=4k，k≥0，代入方程。
公式：x=4k
提示：利用整除性简化方程
步骤 2/5
目标：代入并化简方程
代入x=4k得：3(4k)+4y+12z=2020 => 12k+4y+12z=2020 => 除以4得：3k+y+3z=505。
公式：3k+y+3z=505
提示：化简后方程系数变小
步骤 3/5
目标：引入参数t，将y表示为3t-2
由3k+y+3z=505，移项得y=505-3k-3z=3(168-k-z)+1，但更简洁地，令y=3t-2，t≥1，代入得3k+3t-2+3z=505 => 3(k+t+z)=507 => k+t+z=169。
公式：y=3t-2, t≥1
提示：注意t的取值范围
步骤 4/5
目标：转化为非负整数解计数问题
原方程的非负整数解(x,y,z)与(k,t,z)一一对应，其中k≥0，t≥1，z≥0，且满足k+t+z=169。令u=t-1，则u≥0，方程变为k+u+z=168。
公式：k+u+z=168, u≥0
提示：将t≥1转化为u≥0
步骤 5/5
目标：计算非负整数解组数
方程k+u+z=168的非负整数解组数为C(168+3-1,3-1)=C(170,2)=170×169/2=14365。
公式：C(170,2)=14365
提示：隔板法：n个球放入m个盒子，允许空盒，方案数为C(n+m-1,m-1)
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。