复旦大学 2020年强基第22题
📝 题目
已知 $m, n \in Z$ ，且 $0 \leq n \leq 11$ ，满足 $2^{2020}+3^{2021}=12 m+n$ ，则 $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：两边模 4 得 $-1 \equiv n(\bmod 4) \therefore n=3,7,11$ ． 两边模 3 得， $1 \equiv n(\bmod 3) \therefore n=7$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原方程转化为同余式
由 2^{2020}+3^{2021}=12m+n，两边模12得 2^{2020}+3^{2021} ≡ n (mod 12)。由于0≤n≤11，n即为余数。
公式：2^{2020}+3^{2021} ≡ n (mod 12)
提示：模12可分解为模4和模3，利用中国剩余定理。
步骤 2/4
目标：模4求n的可能值
计算2^{2020} mod 4：2^2≡0 mod 4，故2^{2020}≡0 mod 4。3^{2021} mod 4：3≡-1 mod 4，故3^{2021}≡(-1)^{2021}=-1≡3 mod 4。所以0+3≡3 mod 4，即n≡3 mod 4，n=3,7,11。
公式：2^{2020}≡0 (mod 4), 3^{2021}≡3 (mod 4)
提示：注意2的幂模4的规律：指数≥2时余0。
步骤 3/4
目标：模3求n的可能值
计算2^{2020} mod 3：2≡-1 mod 3，故2^{2020}≡(-1)^{2020}=1 mod 3。3^{2021}≡0 mod 3。所以1+0≡1 mod 3，即n≡1 mod 3，n=1,4,7,10。
公式：2^{2020}≡1 (mod 3), 3^{2021}≡0 (mod 3)
提示：3的幂模3恒为0。
步骤 4/4
目标：取交集得n
模4得n∈{3,7,11}，模3得n∈{1,4,7,10}，交集为n=7。
公式：n≡3 (mod 4) 且 n≡1 (mod 3) ⇒ n=7
提示：直接验证7满足条件。
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