复旦大学 2020年强基第23题
📝 题目
凸四边形 ABCD ，则 $\angle B A C=\angle B D C$ 是 $\angle D A C=\angle D B C$ 的 $\_\_\_\_$条件。
💡 答案解析
解：$\angle B A C=\angle B D C$ $\Leftrightarrow A, B, C, D$ 共圆 $\Leftrightarrow \angle D A C=\angle O B C$ 故为充要条件。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目条件
题目给出凸四边形ABCD，问∠BAC=∠BDC是∠DAC=∠DBC的什么条件。需要判断充分性、必要性或充要性。
提示：注意凸四边形的性质，四点共圆是关键。
步骤 2/6
目标：分析条件与四点共圆的关系
在凸四边形中，∠BAC和∠BDC分别是弧BC所对的圆周角。若∠BAC=∠BDC，则A、B、C、D四点共圆。
公式：四点共圆判定：同弧所对圆周角相等
提示：圆周角定理的逆定理。
步骤 3/6
目标：由四点共圆推出另一对角相等
若A、B、C、D四点共圆，则∠DAC和∠DBC也是同弧（弧DC）所对的圆周角，因此∠DAC=∠DBC。
公式：圆周角定理
提示：注意弧的对应关系。
步骤 4/6
目标：判断充分性
由∠BAC=∠BDC推出四点共圆，再推出∠DAC=∠DBC，所以条件是充分的。
提示：充分性成立。
步骤 5/6
目标：判断必要性
若∠DAC=∠DBC，同理可得四点共圆，进而推出∠BAC=∠BDC，所以条件也是必要的。
提示：必要性同样成立。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，∠BAC=∠BDC是∠DAC=∠DBC的充要条件。
提示：答案为充要条件。
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