复旦大学 2020年强基第24题
📝 题目
设函数 $f(x)=3^{x}-3^{-x}$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$ ，则 $g(x)=f^{-1}(x-1)+1$ 在 $[-3,5]$ 上的最大值和最小值的和为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：$\displaystyle f(x)=3^{x}-\frac{1}{3^{x}}$ 单调递增 $\quad \therefore-4 \leqslant f(x) \leqslant 4 \Leftrightarrow \sqrt{5}-2 \leqslant 3^{x} \leqslant 2+\sqrt{5}$ $\therefore x \in\left[\log _{3}(\sqrt{5}-2), \log _{3}(2+\sqrt{5})\right]$ $\therefore g(x)$ 最大值与最小值的和为 $2+\log _{3}[(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)]=2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数f(x)的单调性
f(x)=3^x-3^{-x}，由于3^x单调递增，-3^{-x}也单调递增，所以f(x)在R上单调递增。
公式：f(x)=3^x-3^{-x}
提示：指数函数单调性
步骤 2/7
目标：求f(x)在[-3,5]上的值域
f(-3)=3^{-3}-3^3=1/27-27=-728/27≈-26.96，f(5)=3^5-3^{-5}=243-1/243≈242.996，所以值域为[-728/27, 242.996]。但注意题目中x范围是[-3,5]对应f(x)值域。
公式：f(-3)=3^{-3}-3^3, f(5)=3^5-3^{-5}
提示：计算端点值
步骤 3/7
目标：确定g(x)的定义域
g(x)=f^{-1}(x-1)+1，定义域要求x-1在f(x)的值域内，即x-1∈[-728/27, 242.996]，所以x∈[-701/27, 243.996]。但题目给定x∈[-3,5]，取交集得x∈[-3,5]。
公式：x-1 ∈ [-728/27, 242.996]
提示：反函数定义域
步骤 4/7
目标：利用反函数性质转化g(x)
设y=f^{-1}(x-1)，则f(y)=x-1，所以x=f(y)+1。g(x)=y+1，即g(x)=f^{-1}(x-1)+1。由于f单调，g(x)与f(x)单调性相同。
公式：f(y)=x-1 ⇒ y=f^{-1}(x-1)
提示：反函数定义
步骤 5/7
目标：求g(x)在[-3,5]上的最值
g(x)单调递增，最大值在x=5处：g(5)=f^{-1}(4)+1；最小值在x=-3处：g(-3)=f^{-1}(-4)+1。
公式：g(5)=f^{-1}(4)+1, g(-3)=f^{-1}(-4)+1
提示：单调性求最值
步骤 6/7
目标：计算f^{-1}(4)和f^{-1}(-4)
解方程3^x-3^{-x}=4，令t=3^x>0，则t-1/t=4，t^2-4t-1=0，解得t=2±√5，取正t=2+√5，所以x=log_3(2+√5)。同理，3^x-3^{-x}=-4得t=√5-2，x=log_3(√5-2)。
公式：t-1/t=4 ⇒ t=2+√5; t-1/t=-4 ⇒ t=√5-2
提示：换元法解指数方程
步骤 7/7
目标：求g(x)最值之和
g(5)+g(-3)=[log_3(2+√5)+1]+[log_3(√5-2)+1]=log_3[(2+√5)(√5-2)]+2=log_3(5-4)+2=log_3(1)+2=0+2=2。
公式：log_3(2+√5)+log_3(√5-2)=log_3(1)=0
提示：对数运算性质
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