复旦大学 2020年强基第25题
📝 题目
若 $\mathrm{K}\gt 4$ ，直线 $k x-2 y-2 k+8=0$ 与 $2 x+k^{2} y-4 k^{2}-4=0$ 和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解：易知两条直线均过 $(2,4)$ $\displaystyle y=\frac{1}{2} k x+4-k, \quad y=\frac{-2}{k^{2}} x+4+\frac{4}{k^{2}}$ 连 $\displaystyle O P, A\left(0,4+\frac{4}{k^{2}}\right) \quad B\left(2-\frac{8}{k}, 0\right)$ $\displaystyle \therefore S_{A O B P}=\left(2-\frac{8}{k}\right) \times 2+4+\frac{4}{k^{2}}$ $\displaystyle =\frac{4}{k^{2}}-\frac{16}{k}+8$ 
$\displaystyle \because \frac{1}{k} \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$ $\displaystyle \therefore S_{A O B P} \in\left(\frac{17}{4}, 8\right)$ 。
$\displaystyle \because \frac{1}{k} \in\left(0, \frac{1}{4}\right)$ $\displaystyle \therefore S_{A O B P} \in\left(\frac{17}{4}, 8\right)$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定两条直线均过定点(2,4)
将直线方程变形，代入x=2，y=4验证，发现两条直线均过定点(2,4)。
公式：k*2-2*4-2k+8=0，2*2+k^2*4-4k^2-4=0
提示：注意验证定点时，参数k应消去。
步骤 2/5
目标：将直线方程化为斜截式
第一条直线：kx-2y-2k+8=0 => y=(k/2)x+4-k；第二条直线：2x+k^2y-4k^2-4=0 => y=(-2/k^2)x+4+4/k^2。
公式：y=(k/2)x+4-k；y=(-2/k^2)x+4+4/k^2
提示：注意第二条直线斜率表达式中的负号。
步骤 3/5
目标：求出直线与坐标轴的交点
第一条直线与x轴交点：令y=0得x=2-8/k，即B(2-8/k,0)；与y轴交点：令x=0得y=4-k。第二条直线与y轴交点：令x=0得y=4+4/k^2，即A(0,4+4/k^2)。
公式：x轴交点：y=0；y轴交点：x=0
提示：注意k>4，所以2-8/k>0，4-k<0，但A点纵坐标为正。
步骤 4/5
目标：确定四边形顶点并计算面积
四边形由原点O(0,0)、A(0,4+4/k^2)、P(2,4)、B(2-8/k,0)构成。面积S=梯形OAPB面积= (上底+下底)*高/2，其中上底为OA，下底为PB？实际计算：S = (2-8/k)*2 + 4+4/k^2 = 4/k^2 -16/k +8。
公式：S = (2-8/k)*2 + 4+4/k^2 = 4/k^2 -16/k +8
提示：注意四边形形状，可分割为矩形和三角形计算。
步骤 5/5
目标：利用k>4求面积取值范围
令t=1/k，则t∈(0,1/4)。S=4t^2-16t+8，对称轴t=2，在(0,1/4)上递减，所以S∈(S(1/4), S(0))，即(4*(1/16)-16*(1/4)+8, 8) = (1/4-4+8, 8) = (17/4, 8)。
公式：S=4t^2-16t+8，t∈(0,1/4)
提示：注意t=0时S=8，但t不能取0，所以8是开区间。
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