复旦大学 2020年强基第26题
📝 题目
已知 ABCD 四点共圆，且 $\mathrm{AB}=1, \mathrm{CD}=2, \mathrm{AD}=4, \mathrm{BC}=5$ ，则 PA 的长度为 $\_\_\_\_$。 
💡 答案解析
解：$\because \triangle P A B \sim \triangle P C D$ $$ \begin{align*} & \therefore \frac{1}{2}=\frac{x}{y+5} \tag{1}\\ & \text { 又 } x(x+4)=y(y+5) \\ & \therefore x+4=2 y \tag{2} \end{align*} $$ 联立（1）（2）可得 $\displaystyle x=\frac{14}{3}$ 。 
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别相似三角形
由四点共圆及割线定理，得△PAB∽△PCD，对应边成比例。
公式：△PAB∽△PCD
提示：注意对应顶点顺序：P-A-B与P-C-D。
步骤 2/5
目标：设未知数并列出比例式
设PA=x，PB=y，则PC=x+4，PD=y+5。由相似得AB/CD=PA/PC，即1/2=x/(y+5)。
公式：1/2 = x/(y+5)
提示：利用已知边长AB=1，CD=2。
步骤 3/5
目标：利用割线定理列出第二个方程
由割线定理：PA·PD=PB·PC，即x(x+4)=y(y+5)。
公式：x(x+4) = y(y+5)
提示：割线定理：从圆外一点引两条割线，乘积相等。
步骤 4/5
目标：化简第二个方程
将x(x+4)=y(y+5)与比例式结合，由比例式得y+5=2x，代入得x(x+4)=y(2x)，即x+4=2y。
公式：x+4 = 2y
提示：注意消去y，得到x与y的线性关系。
步骤 5/5
目标：解方程组求x
联立方程：1/2=x/(y+5)和x+4=2y。由第二式得y=(x+4)/2，代入第一式解得x=14/3。
公式：x = 14/3
提示：代入后解一元一次方程。
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