复旦大学 2020年强基第28题
📝 题目
下列不等式恒成立的是（ ）。 A．$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \geq x+\frac{1}{x}$ B．$\displaystyle |x-y|+\frac{1}{x-y} \geq 2$ C．$|x-y| \geq|x-z|+|y-z|$
💡 答案解析
A 解：$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-\left(x+\frac{1}{x}\right)$ $$ \begin{aligned} & =x(x-1)+\frac{1-x}{x^{2}} \\ & =\frac{1}{x^{2}}\left(x^{3}(x-1)-(x-1)\right) \\ & =\frac{1}{x^{2}}(x-1)^{2}\left(x^{2}+x+1\right) \geqslant 0 \end{aligned} $$ ∴ 选 A 选项 B，取 $x=1, y=2$ 选项 C，取 $x=1, y=2, z=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断选项A是否恒成立
将不等式左边减右边，得到差式：x^2 + 1/x^2 - (x + 1/x)。
公式：x^2 + 1/x^2 - (x + 1/x)
提示：注意x≠0
步骤 2/6
目标：化简差式
提取公因式：x(x-1) + (1-x)/x^2 = (x-1)(x - 1/x^2) = (x-1)(x^3-1)/x^2。
公式：x^2 + 1/x^2 - (x + 1/x) = (x-1)(x^3-1)/x^2
提示：将1-x转化为-(x-1)便于合并
步骤 3/6
目标：进一步因式分解
利用立方差公式：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)，代入得差式=(x-1)^2(x^2+x+1)/x^2。
公式：(x-1)(x^3-1)/x^2 = (x-1)^2(x^2+x+1)/x^2
提示：立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
步骤 4/6
目标：判断差式的符号
由于(x-1)^2≥0，x^2+x+1>0恒成立，x^2>0，所以差式≥0，即原不等式恒成立。
公式：(x-1)^2(x^2+x+1)/x^2 ≥ 0
提示：x^2+x+1的判别式Δ=1-4=-3<0，故恒正
步骤 5/6
目标：判断选项B是否恒成立
取反例：x=1, y=2，则|x-y|=1，1+1=2，不等式取等号，但需检查是否恒成立。实际上当x-y为负时，左边可能小于2，例如x=1,y=3，|1-3|=2，2+1/2=2.5>2，但x-y=2为正，需考虑负值情况。更简单反例：x=1,y=2，左边=1+1=2，但不等式要求≥2，取等成立，但并非恒成立，因为当x-y<0时，1/(x-y)为负，左边可能小于2。例如x=2,y=1，|2-1|=1，1+1=2，仍取等。实际上当x-y为负时，例如x=1,y=2，x-y=-1，但绝对值后为正，所以1/(x-y)无意义？注意分母是x-y，不是绝对值，所以x-y不能为0，且当x-y<0时，1/(x-y)为负，左边可能小于2。例如取x=1,y=2，x-y=-1，则左边=1+(-1)=0<2，故不恒成立。
公式：|x-y| + 1/(x-y) ≥ 2
提示：注意分母是x-y，不是|x-y|，因此x-y必须为正才能用均值不等式
步骤 6/6
目标：判断选项C是否恒成立
取反例：x=1, y=2, z=0，则左边|1-2|=1，右边|1-0|+|2-0|=1+2=3，1≥3不成立，故不恒成立。
公式：|x-y| ≥ |x-z| + |y-z|
提示：三角形不等式应为|x-y| ≤ |x-z| + |y-z|，方向相反
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