复旦大学 2020年强基第29题
📝 题目
向量数列 $\left\{\overrightarrow{a_{n}}\right\}$ 满足 $\overrightarrow{a_{n+1}}=\overrightarrow{a_{n}}+\vec{d}$ ，且满足 $\displaystyle \left|\vec{a}_{1}\right|=3, \overrightarrow{a_{1}} \cdot \vec{d}=-\frac{3}{2}$ ，令 $S_{n}=\overrightarrow{a_{1}} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{a_{i}}\right)$ ，则当 $S_{n}$ 取最大时， n 的值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
解： $$ \begin{aligned} & S_{n}=\vec{a}_{1} \cdot\left(n \vec{a}_{1}+\frac{n(n-1)}{2} \vec{d}\right) \\ = & 9 n+\frac{n(n-1)}{2}\left(-\frac{3}{2}\right) \\ = & -\frac{3}{4} n^{2}+\frac{39}{4} n \end{aligned} $$ $\therefore n=6$ or 7 时，$S_{n}$ 最大。 30 ．解： 
（1）若甲丙在最左端，则 $A_{5}^{5}=120$ （2）若甲丙在左二格，则 $2 A_{5}^{5}=240$ （3）若甲丙不在左边两格，则 $4 \times 2 \times 4 A_{4}^{4}$ ∴ 共有 $360+32 \times 24=1128$ 。
（1）若甲丙在最左端，则 $A_{5}^{5}=120$ （2）若甲丙在左二格，则 $2 A_{5}^{5}=240$ （3）若甲丙不在左边两格，则 $4 \times 2 \times 4 A_{4}^{4}$ ∴ 共有 $360+32 \times 24=1128$ 。📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将S_n表示为n的函数
由向量数列递推关系，得∑a_i = n a_1 + n(n-1)/2 d，代入S_n = a_1·∑a_i，得S_n = n|a_1|^2 + n(n-1)/2 (a_1·d)。
公式：S_n = n|a_1|^2 + n(n-1)/2 (a_1·d)
提示：利用等差数列求和公式
步骤 2/6
目标：代入已知数值
已知|a_1|=3，a_1·d=-3/2，代入得S_n = 9n + n(n-1)/2 * (-3/2) = 9n - (3/4)n(n-1)。
公式：S_n = 9n - (3/4)n(n-1)
提示：注意符号
步骤 3/6
目标：化简S_n表达式
展开并整理：S_n = 9n - (3/4)(n^2 - n) = -3/4 n^2 + (9 + 3/4)n = -3/4 n^2 + 39/4 n。
公式：S_n = -3/4 n^2 + 39/4 n
提示：合并同类项
步骤 4/6
目标：求二次函数最大值对应的n
S_n是开口向下的二次函数，对称轴n = -b/(2a) = - (39/4) / (2 * (-3/4)) = 39/6 = 6.5。由于n为正整数，最大值在n=6或7处取得。
公式：对称轴n = 6.5
提示：二次函数最值在对称轴附近整数点
步骤 5/6
目标：比较n=6和n=7时的S_n
计算S_6 = -3/4*36 + 39/4*6 = -27 + 58.5 = 31.5，S_7 = -3/4*49 + 39/4*7 = -36.75 + 68.25 = 31.5，两者相等。
公式：S_6 = S_7 = 31.5
提示：验证相等性
步骤 6/6
目标：得出结论
因此当n=6或7时，S_n取最大值。
提示：答案不唯一
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。