复旦大学 2020年强基第30题
📝 题目
某公司安排甲乙丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责一天。已知甲不安排在第一天，乙不安 排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 $\_\_\_\_$种。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/12
目标：分析条件并分类讨论
甲不在第一天，乙不在第二天，甲丙相邻。考虑甲丙相邻的两种情况：甲在丙前一天或后一天。分别讨论甲的位置，注意乙的限制。
提示：先处理甲丙相邻，再考虑乙的限制，避免重复或遗漏。
步骤 2/12
目标：情况1：甲在第一天？不成立，因为甲不在第一天，所以甲不能是第一天。
甲不在第一天，所以甲丙相邻中甲不能是第一天。但丙可以是第一天，此时甲在第二天。
提示：注意甲丙相邻的两种顺序。
步骤 3/12
目标：分类：甲丙相邻的两种顺序
设甲丙相邻，有两种情况：甲在丙前一天（甲丙顺序），或丙在甲前一天（丙甲顺序）。分别计算。
提示：将甲丙视为一个整体，但注意内部顺序。
步骤 4/12
目标：计算情况A：甲丙顺序（甲在丙前一天）
将甲丙视为一个整体，但甲不能第一天，丙不能第二天？实际上整体位置有6个。先不考虑乙，再减去乙在第二天的情况。
提示：用捆绑法，再排除乙在第二天。
步骤 5/12
目标：情况A详细计算
甲丙整体有6个位置可选，但甲不能第一天，所以整体不能在第1位（因为甲在第一天），所以整体可选位置2-6共5种。每种内部顺序固定（甲前丙后），然后其余5人全排列5!。但需排除乙在第二天的情况。
公式：5 × 5! = 600
提示：先不考虑乙限制，再减去乙在第二天的情况。
步骤 6/12
目标：排除乙在第二天的情况（情况A）
乙在第二天时，甲丙整体不能占第二天（因为第二天已被乙占），且甲不能第一天，所以整体可选位置3-6共4种。其余4人全排列4!。所以乙在第二天有4×4!=96种。
公式：4 × 4! = 96
提示：注意乙在第二天时，甲丙整体位置受限。
步骤 7/12
目标：情况A有效数
600 - 96 = 504种。
步骤 8/12
目标：计算情况B：丙甲顺序（丙在甲前一天）
丙甲整体，丙在甲前一天。甲不能第一天，所以整体不能在第7位（因为甲在最后一天？实际上甲在整体后一位，整体位置若在第7位则甲在第8天不存在，所以整体位置只能1-6。但甲不能第一天，所以整体不能在第1位（因为甲在第二天？注意：整体第1位时，丙第1天，甲第2天，甲不在第一天，允许。所以整体位置1-6均可，但需考虑乙限制。
提示：丙甲顺序中甲不在第一天自动满足，但需注意整体位置。
步骤 9/12
目标：情况B初步计算
整体有6个位置可选，内部顺序固定（丙前甲后），其余5人全排列5!，得6×5!=720。再排除乙在第二天的情况。
公式：6 × 5! = 720
步骤 10/12
目标：排除乙在第二天的情况（情况B）
乙在第二天时，整体不能占第二天（因为第二天被乙占），且整体位置不能使甲在第一天？甲不在第一天自动满足。整体可选位置：1,3,4,5,6共5种（因为位置2被乙占）。其余4人全排列4!，得5×4!=120。
公式：5 × 4! = 120
步骤 11/12
目标：情况B有效数
720 - 120 = 600种。
步骤 12/12
目标：总方案数
情况A 504 + 情况B 600 = 1104种。
提示：注意两种顺序互斥，直接相加。
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