复旦大学 2020年强基第31题
📝 题目
直线 $l_{1}, l_{2}$ 交于 O 点， M 为平面上任意一点，若 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 分别为 M 点到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的距离，则称 $(\mathrm{p}, \mathrm{q})$ 为点 M 的距离坐标。已知非负常数 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ ，下列三个命题正确的个数是 $\_\_\_\_$。 （ i ）若 $\mathrm{p}=\mathrm{q}=0$ ，则距离坐标为 $(0,0)$ 的点有且仅有 1 个。 （ii）若 $\mathrm{pq}=0$ ，且 $p+q \neq 0$ ，则距离坐标为 $(0,0)$ 的点有且仅有 1 个。 （iii）若 $p q \neq 0$ ，则距离坐标为 $(p, q)$ 的点有且仅有 4 个。
💡 答案解析
解：（1）正确，即为 $O$ 点； （2）正确 $P=0$ or $q=0$ 若 $P=0$ ，则该点为 AB 若 $q=0$ ，类似可知 
$l_{2}$ 上存在两点满足条件； （3）正确， 作 $l_{1}, l_{2}$ 的平行线， 4 条平行线交于 $A, B, C, D$ $A C, B D$ 距离 $l_{2}$ 为 $q$ ， $A B, C D$ 距离 $l_{1}$ 为 $p$ 。 
$l_{2}$ 上存在两点满足条件； （3）正确， 作 $l_{1}, l_{2}$ 的平行线， 4 条平行线交于 $A, B, C, D$ $A C, B D$ 距离 $l_{2}$ 为 $q$ ， $A B, C D$ 距离 $l_{1}$ 为 $p$ 。 📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析命题(i)：p=q=0的情况
若p=q=0，则点M到l1和l2的距离均为0，即M同时位于l1和l2上。由于l1和l2交于O点，故只有O点满足条件，命题正确。
提示：距离为0的点在直线上。
步骤 2/3
目标：分析命题(ii)：pq=0且p+q≠0的情况
不妨设p=0，q≠0，则M在l1上且到l2的距离为q。在l1上，到l2距离为定值q的点有两个（位于l2两侧），故有2个点。同理若q=0，也有2个点。命题说仅有1个，错误。
提示：注意直线上的点到另一条直线的距离为定值时有两点。
步骤 3/3
目标：分析命题(iii)：pq≠0的情况
作l1的平行线，使它们到l1的距离为p，共两条；作l2的平行线，使它们到l2的距离为q，共两条。这四条直线相交于四个点，每个点满足距离坐标(p,q)，故有4个点，命题正确。
提示：平行线交点即为所求点。
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