上海交通大学 2023年强基第1题
📝 题目
设 $\displaystyle |\vec{b}|=|\vec{a}|=|\vec{c}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ ，则 $(\vec{a}+\vec{b})(2 \vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为（ ） A． $3+\sqrt{3}$ B． $3-\sqrt{3}$ C． $2+\sqrt{2}$ D． $2-\sqrt{2}$
💡 答案解析
B 解析：按照向量数量积的定义展开，得 $$ \begin{gathered} (\vec{a}+\vec{b})(2 \vec{b}-\vec{c})=2 \vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{c}+2|\vec{b}|^{2}-\vec{b} \cdot \vec{c} \\ =2 \times \frac{1}{2}-(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}+2 \times 1^{2} \\ \geq 3-|\vec{a}+\vec{b}| \cdot|\vec{c}| \\ =3-\sqrt{|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}} \cdot|\vec{c}| \\ =3-\sqrt{1^{2}+1^{2}+2 \times \frac{1}{2}} \times 1 \\ =3-\sqrt{3}, \end{gathered} $$ 且上述等号可以取到，故选 $B$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开表达式
将 (a+b)·(2b-c) 展开为 2a·b - a·c + 2|b|² - b·c。
公式：(a+b)·(2b-c) = 2a·b - a·c + 2|b|² - b·c
提示：注意向量点乘的分配律。
步骤 2/5
目标：代入已知条件
代入 a·b=1/2 和 |b|=1，得 2*(1/2) - a·c + 2*1 - b·c = 3 - (a+b)·c。
公式：原式 = 3 - (a+b)·c
提示：合并 a·c 和 b·c 为 (a+b)·c。
步骤 3/5
目标：应用柯西不等式求下界
由柯西不等式，(a+b)·c ≤ |a+b||c|，所以原式 ≥ 3 - |a+b||c|。
公式：(a+b)·c ≤ |a+b||c|
提示：注意不等式方向，减号后取最大值得到最小值。
步骤 4/5
目标：计算 |a+b|
|a+b|² = |a|²+|b|²+2a·b = 1+1+2*(1/2)=3，所以 |a+b|=√3。
公式：|a+b| = √(|a|²+|b|²+2a·b)
提示：利用已知模长和点积。
步骤 5/5
目标：代入求最小值
|c|=1，所以原式 ≥ 3 - √3 * 1 = 3-√3。等号当 (a+b) 与 c 同向时成立。
公式：最小值 = 3 - √3
提示：验证等号成立条件。
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