上海交通大学 2023年强基第2题

A 解析：由 $\displaystyle a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}\left(n \in N^{*}\right)$ ，可知 $\displaystyle a_{2}=\frac{1}{2}, 0\lt a_{n} \leq 1$ 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列，则 $\displaystyle S_{100}=a_{1}+ a_{2}+\cdots+a_{100}\gt a_{1}+a_{2}=\frac{3}{2}$ ．另一方面，由于 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}-a_{n+1}}{\sqrt{a_{n}}}\lt \frac{2\left(a_{n}-a_{n+1}\right)}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n+1}}}=2\left(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n+1}}\right)$ ，裂项相加知 $S_{100}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}\lt 1+2\left(\sqrt{a_{1}}-\sqrt{a_{2}}\right)+\cdots+2\left(\sqrt{a_{99}}-\sqrt{a_{100}}\right)=1+2\left(\sqrt{a_{1}}-\sqrt{a_{100}}\right)= 3-2 \sqrt{a_{100}}\lt 3$ ，故选 $A$ 。