上海交通大学 2023年强基第3题

C 解析：先考虑 $C$ 上任意一点 $P=(x, y)$ 到上顶点 $B=(0, b)$ 的距离 $|P B|=\sqrt{x^{2}+(y-b)^{2}}$ ，由椭圆方程 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 知，$\displaystyle |P B|^{2}=x^{2}+(y-b)^{2}=\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right) y^{2}-2 b y+\left(a^{2}+b^{2}\right)$ ，这是关于 $y \in[-b, b]$ 的二次函数，由 $\displaystyle 1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\lt 0$ 知抛物线的开口朝下，对称轴为 $\displaystyle y=\frac{b}{1-\frac{a^{2}}{b^{2}}}\lt 0$ ，以下分情形讨论 $|P B|^{2}$ 的最大值： （1）当 $\displaystyle -b \leq \frac{b}{1 \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ 即 $a \geq \sqrt{2} b$ 时，最大值在 $\displaystyle y=\frac{b}{1-\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ 处取到，即 $\displaystyle |P B|_{\text {max }}^{2}=\left(a^{2}+b^{2}\right)-\frac{(-2 b)^{2}}{4\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)}=\left(a^{2}+\right. \left.b^{2}\right)-\frac{b^{2}}{1-\frac{a^{2}}{b^{2}}}$ ；条件要求 $|P B|_{\text {max }} \leq 2 b$ ，代入得 $\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2}}-1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{b^{2}}-1} \leq 2$ ，由基本不等式知 $\displaystyle \frac{a^{2}}{b^{2}}-1=1$ ，即 $a=\sqrt{2} b$ ，此时离心率 $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ； （2）当 $\displaystyle -b\gt \frac{b}{1 \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ 即 $a\lt \sqrt{2} b$ 时，最大值在 $y=-b$ 处取到，即 $\displaystyle |P B|_{\text {max }}^{2}=\left(1-\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)(-b)^{2}-2 b(-b)+ \left(a^{2}+b^{2}\right)=(2 b)^{2}$ ，条件自然满足，此时离心率 $\displaystyle e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\lt \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， 综上选C。