上海交通大学 2023年强基第4题
📝 题目
设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，已知 $5^{5}\lt 4^{8}, 8^{5}\gt 4^{13}$ ，求 $a . b . c$ 的大小关系。
💡 答案解析
解析：我们验证 $\displaystyle \log _{5} 3\lt \frac{7}{10}\lt \log _{8} 5\lt \frac{8}{10}\lt \log _{13} 8$ 如下：注意到 $3^{10}\lt 5^{7}$ ，两边取自然对数知 $10 \ln 3\lt 7 \ln 5$ ；由换底公式， $\displaystyle \log _{5} 3=\frac{\ln 3}{\ln 5}\lt \frac{7}{10}$ ，其余完全同理，故 $a\lt b\lt c$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：比较a与0.7的大小
验证3^10 < 5^7，即59049 < 78125，成立。两边取自然对数得10ln3 < 7ln5，所以ln3/ln5 < 7/10，即a < 0.7。
公式：换底公式：log_5 3 = ln3/ln5
提示：利用指数不等式转化为对数不等式。
步骤 2/5
目标：比较b与0.7的大小
验证5^7 < 8^5，即78125 < 32768？不，5^7=78125，8^5=32768，78125 > 32768，所以5^7 > 8^5，因此ln5/ln8 > 7/10，即b > 0.7。
公式：换底公式：log_8 5 = ln5/ln8
提示：注意题目条件8^5 > 4^13，但这里需要5^7与8^5比较。
步骤 3/5
目标：比较b与0.8的大小
验证5^8 < 8^5？5^8=390625，8^5=32768，390625 > 32768，所以5^8 > 8^5，因此ln5/ln8 > 8/10？不，需要5^8 < 8^5才得b<0.8，但这里5^8 > 8^5，所以b > 0.8？实际上，由5^8 > 8^5得8ln5 > 5ln8，即ln5/ln8 > 5/8=0.625，不是0.8。正确比较：要证b<0.8，即ln5/ln8 < 4/5，即5ln5 < 4ln8，即5^5 < 8^4。计算5^5=3125，8^4=4096，3125<4096成立，所以b<0.8。
公式：换底公式
提示：利用已知条件5^5 < 4^8，但这里需要5^5 < 8^4。
步骤 4/5
目标：比较c与0.8的大小
验证8^4 < 13^5？8^4=4096，13^5=371293，4096 < 371293，所以8^4 < 13^5，即4ln8 < 5ln13，得ln8/ln13 < 4/5=0.8，即c < 0.8。但需要c > 0.8？实际上，由题目条件8^5 > 4^13，即5ln8 > 13ln4，得ln8/ln4 > 13/5=2.6，不直接。正确：要证c>0.8，即ln8/ln13 > 4/5，即5ln8 > 4ln13，即8^5 > 13^4。计算8^5=32768，13^4=28561，32768>28561成立，所以c>0.8。
公式：换底公式
提示：利用指数比较，注意方向。
步骤 5/5
目标：综合大小关系
由前几步得：a < 0.7 < b < 0.8 < c，所以a < b < c。
提示：注意中间值的选取。
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