上海交通大学 2023年强基第5题
📝 题目
设 $f(x)=x^{2}, g(x)=\ln x$ ，求当 $|f(x)-g(x)|$ 取最小值时 $x$ 的值。
💡 答案解析
解析：记 $h(x)=f(x)-g(x)=x^{2}-\ln x$ ，定义域为 $(0,+\infty)$ ，则求导知 $\displaystyle h^{\prime}(x)=2 x-\frac{1}{x}$ ，当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$时，$h^{\prime}(x)\lt 0$ ，则 $h(x)$ 单调减；当 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\right)$ 时，$h^{\prime}(x)\gt 0$ ，则 $h(x)$ 单调增。因此 $h(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 处取得最小值 $\displaystyle h\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \ln 2\gt 0$ ，故当 $|f(x)-g(x)|=|h(x)|=h(x)$ 取最小值时 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义新函数并求导
令 h(x)=f(x)-g(x)=x^2 - ln x，定义域为 (0,+∞)。求导得 h'(x)=2x - 1/x。
公式：h'(x)=2x - 1/x
提示：注意定义域为正数。
步骤 2/5
目标：求导函数的零点
令 h'(x)=0，即 2x - 1/x = 0，解得 x = 1/√2。
公式：2x - 1/x = 0
提示：解方程时注意 x>0。
步骤 3/5
目标：判断单调性
当 01/√2 时，h'(x)>0，h(x)单调递增。
提示：利用导数的符号判断单调性。
步骤 4/5
目标：求最小值点
h(x)在 x=1/√2 处取得极小值，也是最小值。计算 h(1/√2)=1/2 + (1/2)ln2 > 0。
公式：h(1/√2)=1/2 + (1/2)ln2
提示：最小值点即导数为零的点。
步骤 5/5
目标：确定绝对值最小值
由于 h(x) 最小值大于0，故 |h(x)|=h(x)，所以当 x=1/√2 时 |f(x)-g(x)| 取最小值。
提示：绝对值函数的最小值等于原函数的最小值，因为原函数恒正。
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