上海交通大学 2023年强基第8题

解析：由条件 $m \subseteq \alpha \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ 知，$m \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ；又由条件 $m \subseteq$ 平面 $A B C D \|$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 知， $m \|$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．因此 $m \|$ 平面 $C B_{1} D_{1} \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}=$ 直线 $B_{1} D_{1}$ ．同理可知 $n \|$ 直线 $C D_{1}$ ．现以点 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，使得 $B=(1,0,0), D=(0,1,0), A_{1}=(0,0,1)$ ，则 $m$ 的方向向量为 $\overrightarrow{B_{1} D_{1}}= (-1,1,0), n$ 的方向向量为 $\overrightarrow{C D_{1}}=(-1,0,1)$ ，它们的夹角余弦为 $\displaystyle \frac{(-1,1,0) \cdot(-1,0,1)}{|-1,1,0| \cdot|(-1,0,1)|}=\frac{1}{2}$ ，则夹角正弦为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。 9．解析：以正八边形的中心为原点建立平面直角坐标系，设半径为 $r$ ，使得 $\displaystyle A_{1}=\left(-\frac{r}{\sqrt{2}},-\frac{r}{\sqrt{2}}\right), A_{3}= \left(\frac{r}{\sqrt{2}},-\frac{r}{\sqrt{2}}\right)$ ，则 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}}=(\sqrt{2} r, 0)$ ，记正八边形上任意一点 $P=(x, y)$ ，则 $\displaystyle \overrightarrow{A_{1} P}=\left(x+\frac{r}{\sqrt{2}}, y+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)$ ，故 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}}$ ． $\displaystyle \overrightarrow{A_{1} P}=\sqrt{2} r \cdot\left(x+\frac{r}{\sqrt{2}}\right) \geq \sqrt{2} r \cdot\left(-r+\frac{r}{\sqrt{2}}\right)=(-\sqrt{2}+1) r^{2}$ ，由余弦定理知， $\displaystyle 2^{2}=r^{2}+r^{2}-2 r^{2} \cos \frac{2 \pi}{8}$ ，即 $r^{2}=2(\sqrt{2}+1)$ ，故 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{1} P}$ 的最小值为 -2 。