上海交通大学 2023年强基第9题
📝 题目
设正八边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ 的边长为 $2, P$ 为正八边形上任意一点，求 $\overrightarrow{A_{1} A_{3}} \cdot \overrightarrow{A_{1} P}$ 的最小值。 
💡 答案解析
解析： $\sin \alpha\gt \cos \alpha \quad$ 故 $(\cos \alpha)^{\sin \alpha}\lt (\cos \alpha)^{\cos \alpha}$ 令 $f(x)=x \ln x, g(x)=f(x)-f(1-x)=x \ln x-(1-x) \ln (1-x)$ $g^{\prime}(x)=\ln x+1-(-\ln (1-x)+(-1))=\ln x+\ln (1-x)+2$ $=\ln x(1-x)+2$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 上线大于 0 后小于 0 故 $g(x)$ 先增后减 $\displaystyle \quad g\left(\frac{1}{2}\right)=g(1)=0$ 故 $g(x) \geq 0 \quad f(\sin \alpha)\gt f(1-\sin \alpha)\gt f(\cos \alpha)$ （因为 $\displaystyle \frac{1}{e}\gt 1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{2-\sqrt{2}}\gt e \Rightarrow 2+\sqrt{2}\gt e$ 成立）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立坐标系，表示向量
以正八边形中心为原点，A1A3为x轴建立坐标系。设边长为2，计算顶点坐标。A1(-2-√2, 0)，A3(2+√2, 0)，A5(0, 2+√2)等。
公式：正八边形顶点坐标公式
提示：利用对称性简化坐标
步骤 2/6
目标：计算向量A1A3
A1(-2-√2, 0)，A3(2+√2, 0)，所以A1A3 = (4+2√2, 0)。
公式：向量坐标差
提示：注意符号
步骤 3/6
目标：设P点坐标，表示向量A1P
设P(x,y)在正八边形边界上，则A1P = (x+2+√2, y)。
公式：向量坐标差
提示：P点坐标满足边界方程
步骤 4/6
目标：计算点积表达式
A1A3·A1P = (4+2√2)(x+2+√2) + 0*y = (4+2√2)(x+2+√2)。
公式：点积公式
提示：点积只与x坐标有关
步骤 5/6
目标：确定x的取值范围
正八边形顶点x坐标范围：最小为A1的x=-2-√2，最大为A3的x=2+√2。边界上的x在[-2-√2, 2+√2]内。
公式：正八边形顶点坐标
提示：利用对称性
步骤 6/6
目标：求最小值
点积是x的线性函数，系数为正，所以最小值在x最小时取得。x最小为-2-√2，代入得点积=0。
公式：线性函数最值
提示：最小值在边界点
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