上海交通大学 2023年强基第10题
📝 题目
设圆 $C$ 过点 $(3,4)$ ，半径为 1 ，则圆心 $A$ 到原点的最短距离为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
4 解析：由条件知圆心 $A$ 在以 $(3,4)$ 为圆心， 1 为半径的圆 $C^{\prime}$ 上，则圆 $C^{\prime}$ 上点到原点的最短距离为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}-1=4$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意，明确已知和所求
已知圆C过点(3,4)，半径为1，求圆心A到原点的最短距离。
提示：注意圆心A是动点，满足到点(3,4)的距离为1。
步骤 2/6
目标：确定圆心A的轨迹
因为圆C过点(3,4)且半径为1，所以圆心A到点(3,4)的距离等于半径1，即A在以(3,4)为圆心、1为半径的圆C'上。
公式：|A - (3,4)| = 1
提示：轨迹是圆，圆心为(3,4)，半径为1。
步骤 3/6
目标：将问题转化为圆C'上的点到原点的最短距离
圆心A在圆C'上，求A到原点的最短距离，即求圆C'上的点到原点的最短距离。
提示：转化为圆上点到定点距离的最值问题。
步骤 4/6
目标：计算原点到圆C'圆心的距离
圆C'的圆心为(3,4)，原点到该圆心的距离为√(3²+4²)=5。
公式：d = √(3²+4²) = 5
提示：利用两点间距离公式。
步骤 5/6
目标：求最短距离
圆C'上的点到原点的最短距离等于原点到圆心的距离减去半径，即5-1=4。
公式：最短距离 = d - r = 5 - 1 = 4
提示：当A位于原点与圆C'圆心连线上且靠近原点时取最小值。
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，圆心A到原点的最短距离为4。
提示：答案：4
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。