上海交通大学 2023年强基第11题

解析：先证明 $\angle A P B$ 的最大值一定在短轴端点处取到。这是因为，由对称性可不妨设 $a=\sqrt{3}\gt b\gt 0$ ，则 $A=(-\sqrt{3}, 0), B=(\sqrt{3}, 0)$ ．任取 $C$ 上一点 $P=(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{A P}=(x+\sqrt{3}, y), \overrightarrow{B P}=(x- \sqrt{3}, y)$ ，以下计算 $$ \begin{gathered} \cos \angle A P B=\frac{\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}}{|\overrightarrow{A P}| \cdot|\overrightarrow{B P}|}=\frac{x^{2}-3+y^{2}}{\sqrt{(x+\sqrt{3})^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{(x-\sqrt{3})^{2}+y^{2}}}=\frac{x^{2}-3+y^{2}}{\sqrt{\left(x^{2}-3+y^{2}\right)^{2}+12 y^{2}}} \\ =\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{12 y^{2}}{\left(x^{2}-3+y^{2}\right)^{2}}}}=\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{12}{\left(1-\frac{3}{b^{2}}\right)^{2} y^{2}}}} \end{gathered} $$ 其中 $\displaystyle x^{2}-3+y^{2}=\left(1-\frac{3}{b^{2}}\right) y^{2}<0$ ．因此 $\cos \angle A P B$ 关于 $|y|$ 单调减，则 $\angle A P B$ 关于 $|y|$ 单调增，特别地，当 $|y|=1$ 时，$\angle A P B$ 取到最大值。 回到原题，当 $a=\sqrt{3}>b>0$ 时，$\displaystyle (\cos \angle A P B)_{\text {min }}=\frac{-1}{\sqrt{1+\frac{12}{\left(1+\frac{3}{b^{2}}\right)^{2}}}}$ 。由条件知，$\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1+\frac{12}{\left(1-\frac{3}{b^{2}}\right)^{2}}}} \leq \cos \frac{2}{3} \pi$ ，解得 $b \leq 1$ 。当 $a=\sqrt{3}