上海交通大学 2023年强基第12题

解析：记该数列的第 $m \geq 1$ 行为 $1,2, \cdots, 2^{m-1}$ ，则第 $m$ 行和为 $T_{m}=1+2+\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$ ，故前 $m$ 行和为 $\displaystyle \frac{S_{\frac{m(m+1)}{2}}}{2}=T_{1}+\cdots+T_{m}=\left(2+2^{2}+\cdots+2^{m}\right)-m=2^{m+1}-m-2$ ，现设满足条件的第 $k$项在第 $(m+1)$ 行，则 $\displaystyle \frac{(m+1)(m+2)}{2} \geq k\gt 100$ ，故 $m \geq 13$ 。此时 $\displaystyle \frac{S_{m(m+1)}}{2}=2^{m+1}-m-2\gt 2^{m}$ ，且 $\displaystyle \frac{S_{\frac{(m+1)(m+2)}{2}}}{2}=2^{m+2}-m-3\lt 2^{m+2}$ ，故满足条件的 $S_{k}=2^{m+1}$ 。因此由等式 $\displaystyle \frac{S_{m(m+1)}}{2}+(1+2+\cdots+ \left.2^{k-1} \frac{m(m+1)}{2}\right)=S_{k}$ 可解得 $\displaystyle 2^{k-\frac{m(m+1)}{2}}=m+3$ 。代入 $m=13$ 知 $k=95\lt 100$ ，舍去；代入 $m=29$ 知 $k=$ 440 ，故选 $A$ 。