上海交通大学 2023年强基第14题
📝 题目
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{x}, x \leq 0 \\ \ln x, x\gt 0\end{array}, g(x)=f(x)+x+1\right.$ ，若 $g(x)+a=0$ 有两解，求 $a$ 的取值范围。
💡 答案解析
解析：条件等价于 $f(x)=-x-a-1$ 有两解，由单调性知，当 $x\gt 0$ 时，$f(x)=-x-a-1$ 总有唯一解：当 $x \leq 0$ 时，$f(x)=-x-a-1$ 有唯一解当且仅当 $-a-1 \leq 1$ ，即 $a \geq-2$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化方程
由g(x)+a=0得f(x)+x+1+a=0，即f(x)=-x-a-1。问题转化为方程f(x)=-x-a-1有两解。
公式：g(x)=f(x)+x+1
提示：将参数a移到右边，便于分析函数交点。
步骤 2/5
目标：分析x>0时的情况
当x>0时，f(x)=ln x，方程化为ln x = -x-a-1。由于ln x单调递增，-x-a-1单调递减，故在x>0时总有唯一解。
公式：ln x = -x-a-1
提示：利用单调性判断交点个数。
步骤 3/5
目标：分析x≤0时的情况
当x≤0时，f(x)=e^x，方程化为e^x = -x-a-1。令h(x)=e^x+x，则方程化为h(x)=-a-1。h(x)在x≤0时单调递增，值域为(-∞,1]。
公式：e^x = -x-a-1 ⇒ e^x+x = -a-1
提示：分离变量，转化为函数值域问题。
步骤 4/5
目标：确定x≤0时有唯一解的条件
要使x≤0时有唯一解，需-a-1 ≤ h(0)=1，即-a-1 ≤ 1，解得a ≥ -2。此时方程在x≤0上恰有一解。
公式：-a-1 ≤ 1 ⇒ a ≥ -2
提示：注意h(x)在x≤0时最大值为1。
步骤 5/5
目标：综合两段解的情况
当a ≥ -2时，x≤0有一解，x>0有一解，共两解；当a < -2时，x≤0无解，x>0有一解，仅一解。故a的取值范围是a ≥ -2。
提示：确保两段各有一解，总数为2。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。