上海交通大学 2023年强基第15题
📝 题目
设 $a_{1}, \cdots, a_{100}$ 为平面上的 100 条直线，满足所有 $a_{4 k}$ 直线相互平行，所有 $a_{4 k-3}$ 直线交于一点 $(k \in \left.\mathbb{N}^{*}\right)$ ，求这 100 条直线最多有多少个交点？
💡 答案解析
解析：由于所有 $a_{4 k}$ 直线相互平行，这 25 条直线两两无交点；由于所有 $a_{4 k-3}$ 直线交于一点，这 25 条直线产生一个交点；其余 50 条直线之间最多可产生 $\binom{50}{2}$ 个交点。再考虑这三个直线族两两独立，则彼此之间又最多可产生 $25 \times 25+25 \times 50+25 \times 50$ 个交点。综上所述，这 100 条直线最多有 $1+\binom{50}{2}+25 \times 25+25 \times 50+25 \times 50=4351$ 个交点。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析直线分组情况
100条直线分为三组：25条平行线（a_{4k}），25条共点线（a_{4k-3}），以及其余50条一般直线。
提示：注意k从1到25，所以每组25条。
步骤 2/6
目标：计算各组内部交点
平行线组内无交点；共点线组内所有直线交于一点，故只有1个交点；一般直线组内任意两条不平行且不共点，最多有C(50,2)=1225个交点。
公式：C(50,2)=1225
提示：一般直线组内无平行和共点限制。
步骤 3/6
目标：计算平行线组与共点线组之间的交点
平行线组每条与共点线组每条相交，共25×25=625个交点。
公式：25×25=625
提示：注意共点线组交点不在平行线上。
步骤 4/6
目标：计算平行线组与一般直线组之间的交点
平行线组每条与一般直线组每条相交，共25×50=1250个交点。
公式：25×50=1250
提示：一般直线不与平行线平行。
步骤 5/6
目标：计算共点线组与一般直线组之间的交点
共点线组每条与一般直线组每条相交，共25×50=1250个交点。注意共点线组的公共点已计入，但一般直线可能通过该点，但为求最多交点，假设一般直线不通过该点。
公式：25×50=1250
提示：避免重复计算公共点。
步骤 6/6
目标：求和得到总交点数
总交点数为各组内部交点加上各组之间交点：1 + 1225 + 625 + 1250 + 1250 = 4351。
公式：1+1225+625+1250+1250=4351
提示：检查是否有重复或遗漏。
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